ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 628 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Существует ли число: а) обратное самому себе; б) не имеющее обратного?

а) Пусть число \(x\) обратное самому себе: его мультипликативная обратная равна ему же. Тогда \(x\cdot x=1\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1\). Из положительных чисел это \(1\).

б) Мультипликативной обратной не имеет число, для которого нет \(y\) с \(x\cdot y=1\). Для \(x=0\) уравнение \(0\cdot y=1\) невыполнимо, значит обратной нет.

а) Рассмотрим понятие мультипликативной обратной: для числа \(x\) его обратное число — это такое \(y\), что \(x\cdot y=1\). Требование «число, обратное самому себе» означает \(x=y\), то есть \(x\cdot x=1\). Отсюда получаем уравнение \(x^{2}=1\). Решения уравнения \(x^{2}=1\) — это числа, удовлетворяющие \(x=1\) или \(x=-1\). Оба значения при умножении на себя дают \(1\): \(1\cdot1=1\) и \((-1)\cdot(-1)=1\). Если учитывать стандартную школьную формулировку в контексте положительных чисел, то под «числом, обратным самому себе» обычно имеют в виду \(1\), так как именно оно совпадает со своей обратной и является нейтральным элементом по умножению.

б) Теперь о числе, не имеющем мультипликативной обратной. Искомое число \(x\) должно нарушать условие существования такого \(y\), что \(x\cdot y=1\). Если \(x=0\), то для любого \(y\) выполняется \(0\cdot y=0\), и равенство \(0\cdot y=1\) невозможно. Следовательно, у \(0\) не существует ни одного \(y\), удовлетворяющего требованию обратимости, то есть множество подходящих \(y\) равно \(\emptyset\), и число \(0\) не имеет мультипликативной обратной.

Таким образом, уравнение \(x^{2}=1\) описывает все числа, которые являются обратными самим себе, и даёт решения \(x=1\) и \(x=-1\), где в типичном ответе указывают \(1\). Для отсутствия обратного достаточно показать, что при \(x=0\) уравнение \(x\cdot y=1\) неразрешимо, поскольку произведение с нулём всегда \(0\). Поэтому число, не имеющее обратного, — это \(0\).