ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 584 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(1 \cdot \frac{77}{81} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}\);
б) \(3,4 \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}\);
в) \(\frac{11}{12} \cdot 5,6 \cdot \frac{12}{11}\).

а) \(1\cdot \frac{77}{81}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{6}{5} = 1\cdot \frac{77}{81}\cdot 1 = 1\cdot \frac{77}{81} = \frac{77}{81}\).

б) \(3{,}4\cdot \frac{7}{3}\cdot \frac{3}{7} = 3{,}4\cdot 1 = 3{,}4\).

в) \(\frac{11}{12}\cdot 5{,}6 \cdot \frac{12}{11} = \frac{11}{12}\cdot \frac{12}{11}\cdot 5{,}6 = 1\cdot 5{,}6 = 5{,}6\).

а) При перемножении дробей можно сокращать равные множители в числителе и знаменателе, поскольку любая дробь на свой обратный элемент дает единицу. В выражении \(1\cdot \frac{77}{81}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{6}{5}\) наблюдаем пару обратных множителей \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{6}{5}\): их произведение равно \(1\), так как \(\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{5}=\frac{5\cdot 6}{6\cdot 5}=1\). Тогда исходное произведение сводится к \(1\cdot \frac{77}{81}\cdot 1\), что по свойству единицы для умножения не меняет значение множителя. Следовательно, получаем \(1\cdot \frac{77}{81}=\frac{77}{81}\). Это и есть окончательный результат, так как дробь уже несократима: \(77=7\cdot 11\), \(81=3^{4}\), общих простых множителей нет.

б) Аналогично используем свойство обратных дробей. Рассмотрим \(3{,}4\cdot \frac{7}{3}\cdot \frac{3}{7}\). Множители \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{7}\) обратны друг другу, их произведение равно \(1\): \(\frac{7}{3}\cdot \frac{3}{7}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 7}=1\). Тогда выражение упрощается до \(3{,}4\cdot 1\). Умножение на единицу оставляет число без изменения, поэтому результат равен \(3{,}4\). Здесь важно видеть, что порядок перемножения можно менять по переместительному и сочетательному законам умножения, поэтому удобно сначала сократить обратные дроби, а затем умножить на оставшееся число.

в) В произведении \(\frac{11}{12}\cdot 5{,}6 \cdot \frac{12}{11}\) дроби \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{12}{11}\) взаимно обратны. Их произведение равно \(1\): \(\frac{11}{12}\cdot \frac{12}{11}=\frac{11\cdot 12}{12\cdot 11}=1\). Применяя сочетательный закон, переставляем множители, чтобы сначала перемножить эти дроби, после чего все выражение превращается в \(1\cdot 5{,}6=5{,}6\). Дополнительно отмечаем, что никакие преобразования с \(5{,}6\) не требуются, так как умножение на единицу не меняет величину числа, итог остается \(5{,}6\).