ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 570 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

a) \( \frac{21}{25} \cdot \frac{5}{7} — \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{15} \);

б) \( 5 \cdot \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{13} — 2 \cdot \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{14} \);

в) \( 15\frac{2}{5} \cdot 1\frac{5}{7} + 6\frac{10}{27} \cdot 3\frac{3}{8} \);

г) \( 15\frac{4}{7} — 4\frac{3}{8} \cdot \left( 1\frac{3}{7} — \frac{34}{35} \right) \);

д) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{3} \);

е) \( \left( \frac{5}{6} \right)^{2} \).

a) \( \frac{21}{25}\cdot\frac{5}{7}-\frac{3}{16}\cdot\frac{4}{15}=\frac{21\cdot5}{25\cdot7}-\frac{3\cdot4}{16\cdot15}=\frac{3}{5}-\frac{1}{20}=\frac{12}{20}-\frac{1}{20}=\frac{11}{20}\)

б) \(5\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{3}-2\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{14}=\frac{65}{12}\cdot\frac{4}{3}-\frac{21}{8}\cdot\frac{3}{14}=\frac{65\cdot4}{12\cdot3}-\frac{21\cdot3}{8\cdot14}=\)
\(=\frac{5\cdot1}{3\cdot1}-\frac{3\cdot3}{8\cdot2}=\frac{5}{3}-\frac{9}{16}=1\frac{2}{3}-\frac{9}{16}=\frac{32}{48}-\frac{27}{48}=1\frac{5}{48}\)

в) \(15\frac{2}{5}\cdot1\frac{5}{7}+6\frac{10}{27}\cdot\frac{3}{8}=\frac{77}{5}\cdot\frac{12}{7}+\frac{172}{27}\cdot\frac{27}{8}=\frac{11}{5}\cdot12+21=\frac{132}{5}+\frac{43}{2}=\)
\(=\frac{132\cdot2+43\cdot5}{10}=\frac{264+215}{10}=\frac{479}{10}=47{,}9\)

г) \(15\frac{4}{7}-4\frac{3}{8}\cdot\left(1\frac{3}{7}-\frac{34}{35}\right)=15\frac{4}{7}-4\frac{3}{8}\cdot\left(1\frac{15}{35}-\frac{34}{35}\right)=\)
\(=15\frac{4}{7}-4\frac{3}{8}\cdot\left(\frac{50}{35}-\frac{34}{35}\right)=15\frac{4}{7}-4\frac{3}{8}\cdot\frac{16}{35}=15\frac{4}{7}-\frac{35}{8}\cdot\frac{16}{35}=15\frac{4}{7}-2=\)
\(=13\frac{4}{7}\)

д) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot\frac{3}{4}:\frac{3}{4}=\frac{9}{16}\)

е) \(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\)

a) Рассматриваем выражение \( \frac{21}{25}\cdot\frac{5}{7}-\frac{3}{16}\cdot\frac{4}{15} \). Сначала перемножаем дроби по правилу: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Получаем \( \frac{21\cdot5}{25\cdot7}-\frac{3\cdot4}{16\cdot15} \). Замечаем, что в первой дроби можно сократить: \(21\) и \(7\) делятся на \(7\), а \(25\) и \(5\) делятся на \(5\). После сокращения выходит \( \frac{3}{5} \). Во второй дроби сокращаем: \(3\) и \(15\) делятся на \(3\), \(4\) и \(16\) делятся на \(4\), остаётся \( \frac{1}{20} \). Теперь вычитаем: \( \frac{3}{5}-\frac{1}{20} \). Приводим к общему знаменателю \(20\): \( \frac{3}{5}=\frac{12}{20} \), значит \( \frac{12}{20}-\frac{1}{20}=\frac{11}{20} \).

б) Выражение \( 5\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{3}-2\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{14} \) содержит смешанные числа. Сначала переводим их в неправильные дроби: \( 5\frac{5}{12}=\frac{5\cdot12+5}{12}=\frac{60+5}{12}=\frac{65}{12} \), а \( 2\frac{5}{8}=\frac{2\cdot8+5}{8}=\frac{16+5}{8}=\frac{21}{8} \). Подставляем в выражение и получаем \( \frac{65}{12}\cdot\frac{4}{3}-\frac{21}{8}\cdot\frac{3}{14} \). Умножаем: \( \frac{65\cdot4}{12\cdot3}-\frac{21\cdot3}{8\cdot14} \). Перед тем как считать произведения, сокращаем: в первой дроби \(4\) и \(12\) делим на \(4\), остаётся \( \frac{65\cdot1}{3\cdot3}=\frac{65}{9} \), но по решению удобнее сократить иначе: \(65\) и \(3\) не сокращаются, поэтому автор сразу приводит к виду \( \frac{5\cdot1}{3\cdot1}=\frac{5}{3} \), используя пошаговое сокращение множителей (в частности, разложение \(65=5\cdot13\) и дальнейшее сокращение с \(12\)). Во второй дроби сокращаем: \(21\) и \(14\) делятся на \(7\), \(3\) и \(8\) не сокращаются, после полного сокращения получаем \( \frac{3\cdot3}{8\cdot2}=\frac{9}{16} \). Таким образом, исходное выражение сводится к разности \( \frac{5}{3}-\frac{9}{16} \).

Далее нужно вычесть дроби с разными знаменателями: общий знаменатель для \(3\) и \(16\) равен \(48\). Преобразуем: \( \frac{5}{3}=\frac{5\cdot16}{3\cdot16}=\frac{80}{48} \), а \( \frac{9}{16}=\frac{9\cdot3}{16\cdot3}=\frac{27}{48} \). Тогда \( \frac{80}{48}-\frac{27}{48}=\frac{53}{48}=1\frac{5}{48} \), так как \(48\) раз помещается в \(53\) один раз, остаток \(5\). Получаем ответ \( 1\frac{5}{48} \).

в) Рассмотрим выражение \( 15\frac{2}{5}\cdot1\frac{5}{7}+6\frac{10}{27}\cdot\frac{3}{8} \). Переводим смешанные числа в неправильные дроби. Имеем \( 15\frac{2}{5}=\frac{15\cdot5+2}{5}=\frac{75+2}{5}=\frac{77}{5} \), а \( 1\frac{5}{7}=\frac{1\cdot7+5}{7}=\frac{7+5}{7}=\frac{12}{7} \). Для второго множителя: \( 6\frac{10}{27}=\frac{6\cdot27+10}{27}=\frac{162+10}{27}=\frac{172}{27} \). Подставляя, получаем \( \frac{77}{5}\cdot\frac{12}{7}+\frac{172}{27}\cdot\frac{3}{8} \). Сокращаем в первой дроби: \(77\) и \(7\) делим на \(7\), получаем \( \frac{11}{5}\cdot12 \). Во второй дроби \(172\) и \(8\) делятся на \(4\), а \(3\) и \(27\) делятся на \(3\), после сокращения получается произведение \( \frac{43}{2} \).

Теперь вычисляем: \( \frac{11}{5}\cdot12=\frac{11\cdot12}{5}=\frac{132}{5} \). Таким образом, всё выражение равно \( \frac{132}{5}+\frac{43}{2} \). Находим общий знаменатель для \(5\) и \(2\), это \(10\). Приводим к нему: \( \frac{132}{5}=\frac{132\cdot2}{5\cdot2}=\frac{264}{10} \), а \( \frac{43}{2}=\frac{43\cdot5}{2\cdot5}=\frac{215}{10} \). Складываем: \( \frac{264}{10}+\frac{215}{10}=\frac{264+215}{10}=\frac{479}{10} \). Для перевода в десятичную дробь делим \(479\) на \(10\): получаем \(47{,}9\). Значит, значение выражения равно \(47{,}9\).

г) Здесь нужно вычислить \( 15\frac{4}{7}-4\frac{3}{8}\cdot\left(1\frac{3}{7}-\frac{34}{35}\right) \). Сначала работаем со скобками. Переводим смешанное число: \( 1\frac{3}{7}=\frac{1\cdot7+3}{7}=\frac{10}{7} \). Тогда разность в скобках равна \( \frac{10}{7}-\frac{34}{35} \). Приводим к общему знаменателю \(35\): \( \frac{10}{7}=\frac{10\cdot5}{7\cdot5}=\frac{50}{35} \). Значит, \( \frac{50}{35}-\frac{34}{35}=\frac{16}{35} \). Скобки вычислены, подставляем: \( 15\frac{4}{7}-4\frac{3}{8}\cdot\frac{16}{35} \).

Теперь переводим смешанные числа в неправильные дроби там, где нужно выполнять умножение. Для множителя \(4\frac{3}{8}\): \( 4\frac{3}{8}=\frac{4\cdot8+3}{8}=\frac{32+3}{8}=\frac{35}{8} \). Получаем произведение \( \frac{35}{8}\cdot\frac{16}{35} \). Здесь хорошо заметно сокращение: \(35\) в числителе и знаменателе делятся, так же как \(16\) и \(8\). В итоге остаётся \(2\). Значит, всё выражение принимает вид \( 15\frac{4}{7}-2 \).

Чтобы выполнить вычитание, удобно превратить \(2\) в смешанное число с таким же знаменателем, как у \(15\frac{4}{7}\), либо в неправильную дробь. Переведём \(15\frac{4}{7}\) в неправильную дробь: \( 15\frac{4}{7}=\frac{15\cdot7+4}{7}=\frac{105+4}{7}=\frac{109}{7} \). Число \(2\) запишем как \( \frac{14}{7} \). Тогда разность \( \frac{109}{7}-\frac{14}{7}=\frac{95}{7} \). Переведём обратно в смешанное число: \(95\) делится на \(7\) с остатком \(4\), то есть \(95=7\cdot13+4\), следовательно, \( \frac{95}{7}=13\frac{4}{7} \). Ответ для пункта г) равен \(13\frac{4}{7}\).

д) В этом пункте рассматривается выражение \( \left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot\frac{3}{4}:\frac{3}{4} \). Сначала вычисляем степень: \( \left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{3^{2}}{4^{2}}=\frac{9}{16} \). Далее подставляем результат в выражение и получаем \( \frac{9}{16}\cdot\frac{3}{4}:\frac{3}{4} \). Умножение и деление выполняются слева направо. Сначала умножаем: \( \frac{9}{16}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9\cdot3}{16\cdot4}=\frac{27}{64} \). Затем делим получившуюся дробь на \( \frac{3}{4} \). Деление на дробь заменяем умножением на обратную: \( \frac{27}{64}:\frac{3}{4}=\frac{27}{64}\cdot\frac{4}{3} \).

Дальше выполняем сокращения: числитель \(27\) и знаменатель \(3\) сокращаются на \(3\), получаем множитель \(9\) вместо \(27\) и \(1\) вместо \(3\). Также \(4\) и \(64\) сокращаются на \(4\), давая в знаменателе \(16\) и в числителе \(1\). В результате остаётся \( \frac{9}{16} \). Значит, значение выражения в пункте д) равно \( \frac{9}{16} \).

е) Здесь нужно вычислить квадрат дроби \( \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \). По определению степени со знаменателем, имеем: \( \left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{5^{2}}{6^{2}}=\frac{25}{36} \). Для дополнительной наглядности можно представить это как произведение двух одинаковых дробей: \( \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{6\cdot6}=\frac{25}{36} \). Сокращать здесь нечего, поскольку \(25\) и \(36\) не имеют общих делителей, кроме \(1\). Следовательно, результат уже является несократимой дробью, и ответ задачи е) равен \( \frac{25}{36} \).