ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 559 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Вычислите:
a) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\);
б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\frac{1}{9}\);
в) \(\left(1-\frac{3}{4}\right)^{3}.\)

а) Краткое решение: возводим дробь в куб: \(\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1^3}{2^3}=\frac{1}{8}\).

б) Краткое решение: \(\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\). Складываем: \(\frac{1}{27}+\frac{1}{9}=\frac{1}{27}+\frac{3}{27}=\frac{4}{27}\).

в) Краткое решение: \(1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\). Куб: \(\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}\).

а) Возведение дроби в степень означает возвести числитель и знаменатель по отдельности. Для куба имеем: \(\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1^3}{2^3}\). Числитель \(1^3=1\), знаменатель \(2^3=8\), поэтому результат равен \(\frac{1}{8}\). Это следует из общего правила степеней для дробей: при возведении в степень \(n\) множим дробь саму на себя \(n\) раз, что эквивалентно возведению числителя и знаменателя в степень \(n\).

б) Сначала вычислим куб числа \(\frac{1}{3}\): \(\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1^3}{3^3}=\frac{1}{27}\). Далее сложим \(\frac{1}{27}\) и \(\frac{1}{9}\). Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для \(27\) и \(9\) равен \(27\), так как \(27=3\cdot9\). Преобразуем \(\frac{1}{9}\) к знаменателю \(27\): \(\frac{1}{9}=\frac{3}{27}\), поскольку умножаем числитель и знаменатель на \(3\). Теперь складываем: \(\frac{1}{27}+\frac{3}{27}=\frac{1+3}{27}=\frac{4}{27}\). Полученная сумма корректна, потому что при одинаковом знаменателе складываются только числители.

в) Сначала упростим выражение в скобках: \(1-\frac{3}{4}\). Представим единицу как дробь со знаменателем \(4\): \(1=\frac{4}{4}\). Тогда \(1-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\). Теперь возведём полученную дробь в куб: \(\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1^3}{4^3}=\frac{1}{64}\). Здесь применено то же правило возведения дроби в степень: числитель \(1\) остаётся \(1\), а знаменатель \(4\) в кубе даёт \(64\).