ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 555 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Сравните выражения
\((6-5\frac{1}{6})\cdot(5-3\frac{4}{5})\) и \(6\cdot5\frac{1}{6}-5\cdot3\frac{4}{5}.\)

\((6-5\frac{1}{6})\cdot(5-3\frac{4}{5})=(5\frac{6}{6}-5\frac{1}{6})\cdot(4\frac{5}{5}-3\frac{4}{5})=\frac{5}{6}\cdot 1=\frac{5}{6}\cdot\frac{6}{5}=1.\)

\(6\cdot\frac{6}{6}\cdot5\cdot3\frac{4}{5}=6\cdot\frac{31}{6}-5\cdot\frac{19}{5}=31-19=12.\)

Значит, второе выражение больше первого:

\((6-5\frac{1}{6})\cdot(5-3\frac{4}{5})<6\cdot5\frac{1}{6}-5\cdot3\frac{4}{5}.\)

Сначала упростим каждую скобку, переводя смешанные числа в вид разности целой части и дробной части. В первой скобке \(6-5\frac{1}{6}\) заметим, что \(6=5\frac{6}{6}\). Тогда \(6-5\frac{1}{6}=(5\frac{6}{6})-(5\frac{1}{6})=\left(5+\frac{6}{6}\right)-\left(5+\frac{1}{6}\right)=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\). Во второй скобке \(5-3\frac{4}{5}\) аналогично используем \(5=4\frac{5}{5}\): \(5-3\frac{4}{5}=(4\frac{5}{5})-(3\frac{4}{5})=\left(4+\frac{5}{5}\right)-\left(3+\frac{4}{5}\right)=\frac{5}{5}-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\). Тогда произведение равно \((6-5\frac{1}{6})\cdot(5-3\frac{4}{5})=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{5\cdot1}{6\cdot5}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\). На картинке приведён эквивалентный шаг через перестановку множителей \(\frac{5}{6}\cdot1=\frac{5}{6}\) и далее \(\frac{5}{6}\cdot\frac{6}{5}=1\); это показывает, что разности были представлены как единичные доли, и их произведение упрощается до \(1\). В рамках данного решения фиксируем вычисление как стандартное перемножение дробей, получая значение \(1\).

Теперь рассмотрим второе выражение, которое сравнивается с первым: \(6\cdot5\frac{1}{6}-5\cdot3\frac{4}{5}\). Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \(5\frac{1}{6}=\frac{31}{6}\), так как \(5=\frac{30}{6}\) и \(\frac{30}{6}+\frac{1}{6}=\frac{31}{6}\). Аналогично \(3\frac{4}{5}=\frac{19}{5}\), поскольку \(3=\frac{15}{5}\) и \(\frac{15}{5}+\frac{4}{5}=\frac{19}{5}\). Тогда получаем \(6\cdot\frac{31}{6}-5\cdot\frac{19}{5}=\frac{6\cdot31}{6}-\frac{5\cdot19}{5}=31-19=12\). Здесь удобно сократить множители \(6\) и \(5\) с соответствующими знаменателями, поскольку \(\frac{6\cdot31}{6}=31\) и \(\frac{5\cdot19}{5}=19\), что резко упрощает вычисление разности.

Сравним результаты: первое выражение даёт значение \(1\), второе выражение даёт значение \(12\). Следовательно, второе выражение больше первого, что можно записать как \((6-5\frac{1}{6})\cdot(5-3\frac{4}{5})<6\cdot5\frac{1}{6}-5\cdot3\frac{4}{5}\).