ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 53 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

На уроке физкультуры Андрей, Марат, Костя, Саша, Петя и Серёжа готовятся к прыжкам в высоту.  

а) Сколькими способами можно установить для них очерёдность прыжков?  

б) Сколькими способами можно установить очерёдность прыжков, если начинают обязательно Костя или Саша?

а) Первым может прыгнуть один из шести — 6 вариантов;
вторым — один из пяти — 5 вариантов;
третьим — один из четырёх — 4 варианта;
четвёртым — один из трёх — 3 варианта;
пятым — один из двух — 2 варианта;
шестым — последний — 1 вариант.

Итого способов установить очередность:
\(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720\).

Ответ: 720 способов.

б) Так как начинают Костя или Саша, то 2 варианта очередности для первого места.
Вторым может быть один из пяти — 5 вариантов;
третьим — один из четырёх — 4 варианта;
четвёртым — один из трёх — 3 варианта;
пятым — один из двух — 2 варианта;
шестым — последний — 1 вариант.

Итого способов установить очередность:
\(2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 240\).

Ответ: 240 способов.

а) Рассмотрим первый случай, когда на старт выходят шесть человек, и нам нужно определить, сколькими способами можно установить порядок прыжков. Для первого места можно выбрать любого из шести участников, значит вариантов выбора первого — 6. После того как первый выбран, для второго места остаётся 5 человек, следовательно, вариантов для второго — 5. Аналогично, для третьего места остаётся 4 участника, для четвёртого — 3, для пятого — 2, а для шестого — последний оставшийся человек, то есть 1 вариант. Таким образом, общее количество способов упорядочить шесть участников по очередности равняется произведению всех вариантов:
\(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Это произведение также называется факториалом числа 6 и обозначается как \(6!\). Значение \(6! = 720\), что означает, что существует 720 различных способов расположить шесть человек в порядке прыжков. Использование факториала здесь оправдано, так как каждый раз мы выбираем одного из оставшихся участников без возврата, и количество вариантов уменьшается на единицу после каждого выбора.

б) Во втором случае условие изменяется: первым прыгает либо Костя, либо Саша, то есть на первое место только 2 варианта. После выбора первого участника остаётся 5 человек на второе место, затем 4 на третье, 3 на четвёртое, 2 на пятое и 1 на последнее место. Итого количество вариантов определяется произведением:
\(2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Значение этого произведения равно \(2 \cdot 120 = 240\), так как произведение \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\) — это факториал числа 5, обозначаемый как \(5!\). Таким образом, учитывая ограничение на первого прыгуна, количество способов упорядочить участников сокращается до 240. Это объясняется тем, что выбор первого участника не свободен, а ограничен двумя вариантами, что уменьшает общее число перестановок.