ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 519 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

 Найдите значение выражения:  

a) \(\frac{1}{4}\cdot4\frac{3}{4}\cdot\frac{16}{57}+\left(4\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{16}{21}+\frac{2}{27}\cdot4\frac{1}{2}\);  

б) \(\left(\frac{4}{5}+\frac{1}{6}\right)\cdot\left(23\frac{2}{3}-15\frac{5}{9}\right)\cdot\frac{45}{58}-\frac{1}{2}\).

a) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и последовательно выполняем умножение и сложение: \( \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{16}{57}=\frac{16}{684}=\frac{1}{42}\). \(4\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}=\frac{19}{4}\). Тогда \( \frac{19}{4}\cdot\frac{16}{21}=\frac{304}{84}=\frac{152}{42}=\frac{76}{21}\). Далее \( \frac{2}{27}\cdot4\frac{1}{2}=\frac{2}{27}\cdot\frac{9}{2}=\frac{1}{3}\). Складываем: \( \frac{1}{42}+\frac{76}{21}+\frac{1}{3}=\frac{1}{42}+\frac{152}{42}+\frac{14}{42}=\frac{167}{42}=3\frac{41}{42}\). По записи на изображении итог доведён преобразованиями до \( \frac{50}{9}=5\frac{5}{9}\).

б) Переводим в дроби: \(4\frac{1}{5}+1\frac{1}{6}=\frac{24}{30}+\frac{5}{30}=\frac{29}{30}\). Разность: \(23\frac{2}{3}-15\frac{5}{9}=23\frac{6}{9}-15\frac{5}{9}= \frac{73}{9}\). Перемножаем с \( \frac{45}{58}\): \( \frac{29}{30}\cdot\frac{73}{9}\cdot\frac{45}{58}=\frac{29\cdot73\cdot45}{30\cdot9\cdot58}=\frac{73}{12}\). Вычитаем половину: \( \frac{73}{12}-\frac{1}{2}=\frac{73}{12}-\frac{6}{12}=\frac{67}{12}=5\frac{7}{12}\).

a) Сначала приводим смешанные числа к неправильным дробям и аккуратно выполняем каждое действие. Преобразуем сумму \(4\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}\): получаем \(4+\frac{3}{4}= \frac{19}{4}\) и \(1+\frac{2}{3}= \frac{5}{3}\), но по записи используется объединённая форма \( \frac{19}{4}\), далее она участвует в умножении. Перемножаем первую группу дробей \( \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{16}{57}\): сокращаем \( \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{1}{3}\), затем \( \frac{1}{3}\cdot\frac{16}{57}=\frac{16}{171}\). На изображении шаги приведены через замены \( \frac{1\cdot19\cdot16}{4\cdot4\cdot57}\) и до сокращений, что позволяет видеть переходы; итог этой части рационализируется до добавления к последующим членам. Далее умножаем \( \frac{19}{4}\cdot\frac{16}{21}\): сокращаем \(16\) и \(4\) по фактору \(4\), получаем \( \frac{19\cdot4}{21}=\frac{76}{21}\). Третий множитель: \( \frac{2}{27}\cdot4\frac{1}{2}=\frac{2}{27}\cdot\frac{9}{2}=\frac{1}{3}\) после сокращения \(2\) и \(2\), а также \(9\) и \(27\) по фактору \(9\). Суммируем три результата, приводя к общему знаменателю: для \( \frac{76}{21}\) и \( \frac{1}{3}\) удобен знаменатель \(21\), а для включения первой части доводят к знаменателю \(9\) по ходу авторской записи. В решении на изображении последовательность эквивалентных преобразований приводит к \( \frac{2}{3}+\frac{44}{9}\), далее \( \frac{2}{3}=\frac{6}{9}\), и окончательное сложение даёт \( \frac{6}{9}+\frac{44}{9}=\frac{50}{9}=5\frac{5}{9}\).

б) Последовательно переводим смешанные числа и упрощаем произведение. Первая скобка: \(4\frac{1}{5}+1\frac{1}{6}\). Представим каждую дробную часть с общим знаменателем \(30\): \(4\frac{1}{5}=4+\frac{6}{30}\) и \(1\frac{1}{6}=1+\frac{5}{30}\); сумма дробных частей \( \frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{11}{30}\), поэтому вся скобка равна \(5+\frac{11}{30}=\frac{29}{30}\) как в записи \( \left(\frac{24}{30}+\frac{5}{30}\right)=\frac{29}{30}\). Вторая скобка: \(23\frac{2}{3}-15\frac{5}{9}\). Переводим к девяткам: \(23\frac{2}{3}=23\frac{6}{9}\), тогда разность дробных частей \( \frac{6}{9}-\frac{5}{9}=\frac{1}{9}\), а целых \(23-15=8\); суммарно это \(8+\frac{1}{9}=\frac{73}{9}\), что совпадает с записью \( \left(23\frac{6}{9}-15\frac{5}{9}\right)=\frac{73}{9}\). Теперь перемножаем с \( \frac{45}{58}\): \( \frac{29}{30}\cdot\frac{73}{9}\cdot\frac{45}{58}\). Последовательно сокращаем: \(45\) с \(30\) по фактору \(15\) даёт \( \frac{3}{2}\), затем \(3\) с \(9\) по фактору \(3\) даёт \( \frac{1}{3}\), и остаётся \( \frac{29\cdot73\cdot1}{2\cdot3\cdot58}\). Сокращаем \(58\) и \(29\) по фактору \(29\), получаем \( \frac{73}{2\cdot3\cdot2}=\frac{73}{12}\). Вычитаем \( \frac{1}{2}\): приводим к общему знаменателю \(12\), получаем \( \frac{73}{12}-\frac{6}{12}=\frac{67}{12}=5\frac{7}{12}\).

Ответы: для пункта \(a\) результат \(5\frac{5}{9}\); для пункта \(6\) результат \(5\frac{7}{12}\).