ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 513 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
a) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\); б) \(\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)^{2}\); в) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\).

а) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\).
Пояснение: квадрат дроби равен произведению числителей и знаменателей.

б) \(\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)^{2}=\left(\frac{3}{6}-\frac{4}{6}\right)^{2}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}\).
Пояснение: приводим к общему знаменателю, вычитаем, затем возводим в квадрат.

в) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}\).
Пояснение: считаем квадраты, приводим к общему знаменателю и вычитаем.

а) Рассмотрим возведение простой дроби в квадрат. Если дана дробь \(\frac{1}{3}\), то операция квадрирования означает умножение этой дроби самой на себя: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\). При умножении дробей перемножаются числители и знаменатели: числитель \(1\cdot1=1\), знаменатель \(3\cdot3=9\). Получаем итоговую дробь \(\frac{1}{9}\). Важно видеть, что знак и знак дроби остаются неизменными, а квадрат положительной дроби всегда даёт положительный результат, поэтому \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\).

б) Перейдём к выражению с разностью дробей внутри квадрата. Сначала приводим дроби \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{2}{3}\) к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для \(2\) и \(3\) равен \(6\). Преобразуем: \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\), \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\). Теперь вычитаем: \(\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=-\frac{1}{6}\). Далее возводим полученную дробь в квадрат: \(\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}\), так как квадрат отрицательного числа даёт положительное число, а при возведении дроби в квадрат отдельно возводятся в квадрат числитель и знаменатель: \(1^{2}=1\), \(6^{2}=36\). Таким образом, \(\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{36}\).

в) Рассмотрим разность квадратов двух дробей. Сначала вычислим квадраты каждой дроби отдельно: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\), поскольку \(1^{2}=1\), \(2^{2}=4\), \(3^{2}=9\). Далее выполняем вычитание этих дробей, приводя к общему знаменателю \(36\): \(\frac{1}{4}=\frac{9}{36}\), \(\frac{1}{9}=\frac{4}{36}\). Вычитаем числители: \(9-4=5\), знаменатель остаётся \(36\). Получаем результат \(\frac{9}{36}-\frac{4}{36}=\frac{5}{36}\). Следовательно, \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{36}\).