ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 467 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

В алфавите племени аоку всего 6 букв — А, К, М, О, Р, У. Все слова в языке этого племени состоят из четырёх букв. Какое наибольшее число слов может быть в языке племени аоку? В скольких из этих слов буквы не повторяются?

На первом месте может быть от 1 до 6 букв, на втором месте от 1 до 6 букв, на третьем и на четвертом месте то же самое. Итого в языке этого племени слов: \(6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=36\cdot 36=1296\).

Чтобы буквы не повторялись, на первом месте может быть от 1 до 6 букв, на втором от 1 до 5 букв, на третьем от 1 до 4, на четвертом от 1 до 3. Итого в языке этого племени слов, буквы в которых не повторяются: \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=30\cdot 12=360\).

Ответ: 1296 слов всего; в 360 словах буквы не повторяются.

Рассматриваем алфавит из 6 различных букв и все возможные четырехбуквенные слова. На каждую позицию можно ставить любую из 6 букв независимо от остальных. Поэтому число всех слов равно произведению числа вариантов для каждой позиции: \(6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^{4}\). Численно получаем \(6^{4}=36\cdot 36=1296\). Это отражает правило умножения: для последовательного выбора из независимых множеств мощностей 6, 6, 6 и 6 общее число комбинаций равно произведению мощностей.

Теперь посчитаем слова без повторений букв. На первую позицию можно поставить любую из 6 букв, на вторую уже только одну из оставшихся 5, на третью одну из оставшихся 4, на четвертую одну из оставшихся 3. Эти выборы последовательны и зависят от предыдущих, но по правилу умножения перемножаем количество доступных вариантов на каждом шаге: \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\). Вычислим поэтапно: \(6\cdot 5=30\), затем \(4\cdot 3=12\), и итог \(30\cdot 12=360\). Это эквивалентно числу размещений без повторений из 6 по 4: \(A_{6}^{4}=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}=720\cdot \frac{1}{2}=360\).

Смысл полученных чисел: \(1296\) — это все возможные четырехбуквенные слова из 6 букв, когда повторения разрешены, то есть каждая позиция выбирается из одного и того же множества из 6 элементов, отсюда степень \(6^{4}\). Число \(360\) — это те слова, где буквы не повторяются, что соответствует последовательному уменьшению количества доступных букв после каждого выбора и формуле размещений без повторений. Итог: всего \(1296\) слов; из них \(360\) слов имеют попарно разные буквы.