ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 463 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Представьте дробь \(\frac{2}{3}\):  

а) в виде разности двух дробей со знаменателем 3; 18; 21;  

б) в виде суммы двух дробей со знаменателем 3; 9; 12.

а) \( \frac{2}{3}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3} \)

Переходим к общему знаменателю: \( \frac{4}{3}=\frac{12}{18},\ \frac{2}{3}=\frac{12}{18},\ \frac{2}{3}=\frac{14}{21} \)

Тогда: \( \frac{2}{3}=\frac{12}{18}=\frac{15}{18}-\frac{3}{18}=\frac{20}{21}-\frac{6}{21} \)

б) \( \frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \)

Переходим к общему знаменателю: \( \frac{2}{3}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12} \)

Тогда: \( \frac{2}{3}=\frac{6}{9}=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{8}{12}=\frac{3}{12}+\frac{5}{12} \)

а) Рассмотрим равенство \( \frac{2}{3}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3} \). Оно верно, потому что из одинаковых дробей при вычитании получается исходная доля: разность числителей при общем знаменателе \(3\) дает \(4-2=2\), то есть \( \frac{2}{3} \). Чтобы показать эквивалентность при других знаменателях, умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число (приведение к равносильным дробям). Так, \( \frac{4}{3}=\frac{4\cdot6}{3\cdot6}=\frac{24}{18} \), а \( \frac{2}{3}=\frac{2\cdot6}{3\cdot6}=\frac{12}{18} \). Тогда разность \( \frac{24}{18}-\frac{12}{18}=\frac{12}{18} \), что совпадает с \( \frac{2}{3} \). В записи на рисунке используется также представление через соседние числители: \( \frac{2}{3}=\frac{12}{18}=\frac{15}{18}-\frac{3}{18} \), где при общем знаменателе \(18\) выполняется \(15-3=12\). Аналогично, при знаменателе \(21\) получаем \( \frac{2}{3}=\frac{14}{21} \), и разность \( \frac{20}{21}-\frac{6}{21}=\frac{14}{21} \), так как \(20-6=14\). Все эти равенства демонстрируют один принцип: при одинаковых знаменателях вычитание сводится к вычитанию числителей, а умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет значение дроби.

б) Рассмотрим представление \( \frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \). Сложение дробей с одинаковым знаменателем \(3\) дает сумму числителей \(1+1=2\), то есть \( \frac{2}{3} \). Чтобы показать ту же идею при других знаменателях, приведем к равносильным дробям с общим знаменателем \(9\): \( \frac{2}{3}=\frac{2\cdot3}{3\cdot3}=\frac{6}{9} \), \( \frac{1}{3}=\frac{1\cdot3}{3\cdot3}=\frac{3}{9} \). Тогда сумма может быть записана как \( \frac{6}{9}=\frac{4}{9}+\frac{2}{9} \), где \(4+2=6\). Аналогично при знаменателе \(12\): \( \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12} \). Эту же дробь можно разложить на сумму двух дробей с тем же знаменателем, например \( \frac{8}{12}=\frac{3}{12}+\frac{5}{12} \), где \(3+5=8\). Все разложения основаны на том, что при сложении дробей с одинаковым знаменателем их значения суммируются через числители, а переход к другим знаменателям достигается умножением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число.

Таким образом, в пункте а) показано несколько эквивалентных способов представить одну и ту же дробь как разность дробей с общим знаменателем: \( \frac{2}{3}=\frac{12}{18}=\frac{15}{18}-\frac{3}{18}=\frac{14}{21}=\frac{20}{21}-\frac{6}{21} \). В пункте б) приведены эквивалентные представления той же дроби как суммы дробей с общим знаменателем: \( \frac{2}{3}=\frac{6}{9}=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{8}{12}=\frac{3}{12}+\frac{5}{12} \). Эти примеры иллюстрируют два базовых свойства дробей: неизменность значения при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число и операцию сложения/вычитания через числители при равных знаменателях.