ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 451 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Выполните умножение:
а) \(1 \frac{2}{7} \cdot 1 \frac{1}{4}\);
б) \(4 \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}\);
в) \(1 \frac{3}{5} \cdot 3 \frac{3}{4}\);
г) \(\frac{4}{9} \cdot 2 \frac{3}{4}\);
д) \(2 \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{11}\);
е) \(1 \frac{3}{4} \cdot 1 \frac{5}{7}\);
ж) \(3 \frac{1}{4} \cdot 4\);
з) \(10 \cdot 5 \frac{2}{5}\);
и) \(3 \frac{5}{6} \cdot 1 \frac{7}{23}\);
к) \(1 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{2}{5}\);
л) \(7 \frac{3}{11} \cdot 2 \frac{19}{40}\);
м) \(2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{2}{15}\);
н) \(0 \cdot 1 \frac{4}{9}\);
о) \(1 \frac{5}{7} \cdot 1\);
п) \(3 \frac{8}{9} \cdot 0\).

а) \(1 \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{9 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \frac{45}{28} = 1 \frac{17}{28}\).

б) \(4 \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{14}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{28}{15} = 1 \frac{13}{15}\).

в) \(1 \frac{3}{5} \cdot 3 \frac{3}{4} = \frac{8}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{8 \cdot 15}{5 \cdot 4} = 2 \cdot 3 = 6\).

г) \(\frac{4}{9} \cdot 2 \frac{3}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{11}{4} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 4} = \frac{11}{9} = 1 \frac{2}{9}\).

д) \(2 \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{11} = \frac{11}{4} \cdot \frac{4}{11} = 1\).

е) \(1 \frac{3}{4} \cdot 1 \frac{5}{7} = \frac{7}{4} \cdot \frac{12}{7} = \frac{7 \cdot 12}{4 \cdot 7} = 3\).

ж) \(3 \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{13}{4} \cdot 4 = 13\).

з) \(10 \cdot 5 \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{27}{5} = \frac{10 \cdot 27}{5} = 2 \cdot 27 = 54\).

и) \(3 \frac{5}{6} \cdot 1 \frac{7}{23} = \frac{23}{6} \cdot \frac{30}{23} = \frac{23 \cdot 30}{6 \cdot 23} = 5\).

к) \(1 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{2}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 5} = 4\).

л) \(7 \frac{3}{11} \cdot 2 \frac{19}{40} = \frac{80}{11} \cdot \frac{99}{40} = \frac{80 \cdot 99}{11 \cdot 40} = 2 \cdot 9 = 18\).

м) \(2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{2}{15} = \frac{5}{2} \cdot \frac{32}{15} = \frac{5 \cdot 32}{2 \cdot 15} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}\).

н) \(0 \cdot 1 \frac{4}{9} = 0\).

о) \(1 \frac{5}{7} \cdot 1 = 1 \frac{5}{7}\).

п) \(3 \frac{8}{9} \cdot 0 = 0\).

а) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \(1 \frac{2}{7} = \frac{9}{7}\), умножаем на \(\frac{1}{4}\), затем сокращаем числитель и знаменатель при необходимости: \(\frac{9}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{9 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \frac{45}{28}\). Представляем результат как смешанное число: \(1 \frac{17}{28}\). Здесь ключевой шаг — перевод смешанных чисел в неправильные дроби и умножение числителей и знаменателей с последующим выделением целой части.

б) Переводим: \(4 \frac{2}{3} = \frac{14}{3}\) и умножаем на \(\frac{2}{5}\): \(\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{28}{15}\). Выделяем целую часть: \(1 \frac{13}{15}\). При умножении дробей можно сначала сократить общие множители числителя и знаменателя, но здесь результат уже несократим, после чего выполняем преобразование в смешанный вид.

в) Преобразуем оба числа: \(1 \frac{3}{5} = \frac{8}{5}\) и \(3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\). Умножаем: \(\frac{8}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{8 \cdot 15}{5 \cdot 4}\). Сокращаем \(15\) с \(5\) и \(8\) с \(4\), получаем \(2 \cdot 3 = 6\). Здесь сокращение перед умножением упрощает вычисления и мгновенно дает целый результат.

г) Умножаем дробь на смешанное число: \(2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}\), тогда \(\frac{4}{9} \cdot \frac{11}{4} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 4}\). Сокращаем четверки и получаем \(\frac{11}{9}\). Выделяем целую часть: \(1 \frac{2}{9}\). Основной прием — сокращение общих множителей до умножения, что избавляет от больших чисел.

д) Перевод: \(2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}\). Умножаем на \(\frac{4}{11}\): \(\frac{11}{4} \cdot \frac{4}{11}\). Сокращаем \(11\) и \(4\) попарно, итог \(1\). Это частный случай, когда множители являются взаимно обратными дробями, и произведение равно единице.

е) Преобразование: \(1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\) и \(1 \frac{5}{7} = \frac{12}{7}\). Умножаем: \(\frac{7}{4} \cdot \frac{12}{7} = \frac{7 \cdot 12}{4 \cdot 7}\). Сокращаем семерки, затем \(12\) и \(4\) на \(4\), получаем \(3\). Здесь полезно последовательно сокращать общие множители числителя и знаменателя.

ж) Переводим смешанное число: \(3 \frac{1}{4} = \frac{13}{4}\). Умножаем на \(4\): \(\frac{13}{4} \cdot 4 = 13\). Сокращение \(4\) в знаменателе и множителя \(4\) даёт целое число. Этот пример показывает удобство умножения на целое через представление в виде дроби.

з) Переводим: \(5 \frac{2}{5} = \frac{27}{5}\). Умножаем на \(10\), представив \(10 = \frac{10}{1}\): \(\frac{10}{1} \cdot \frac{27}{5} = \frac{10 \cdot 27}{5}\). Сокращаем \(10\) с \(5\) до \(2\), получаем \(2 \cdot 27 = 54\). Применено свойство сокращения общей кратности между числителем и знаменателем.

и) Преобразуем: \(3 \frac{5}{6} = \frac{23}{6}\) и \(1 \frac{7}{23} = \frac{30}{23}\). Умножаем: \(\frac{23}{6} \cdot \frac{30}{23} = \frac{23 \cdot 30}{6 \cdot 23}\). Сокращаем \(23\) и затем \(30\) с \(6\) до \(5\), получаем \(5\). Чёткое сокращение по общим множителям делает расчёт непосредственным.

к) Переводим: \(1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\) и \(2 \frac{2}{5} = \frac{12}{5}\). Умножаем: \(\frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 5}\). Сокращаем пятёрки, затем \(12\) с \(3\) до \(4\), результат \(4\). Сокращение до умножения экономит вычисления и избегает крупных чисел.

л) Переводим: \(7 \frac{3}{11} = \frac{80}{11}\) и \(2 \frac{19}{40} = \frac{99}{40}\). Умножаем: \(\frac{80}{11} \cdot \frac{99}{40} = \frac{80 \cdot 99}{11 \cdot 40}\). Сокращаем \(80\) и \(40\) до \(2\), а \(99\) и \(11\) до \(9\), получаем \(2 \cdot 9 = 18\). Использовано поэтапное сокращение сначала по базовым общим делителям.

м) Переводим: \(2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) и \(2 \frac{2}{15} = \frac{32}{15}\). Умножаем: \(\frac{5}{2} \cdot \frac{32}{15} = \frac{5 \cdot 32}{2 \cdot 15}\). Сокращаем \(5\) с \(15\) до \(\frac{1}{3}\), а \(32\) с \(2\) до \(16\), получаем \(\frac{16}{3}\). Выделяем целую часть: \(5 \frac{1}{3}\). Сокращение по двум парам множителей существенно упрощает итог.

н) Умножение на ноль всегда даёт ноль: \(0 \cdot 1 \frac{4}{9} = 0\). Независимо от вида второго множителя, произведение равно нулю, так как любой числитель умножается на \(0\), результатом является \(0\).

о) Умножение на единицу сохраняет число: \(1 \frac{5}{7} \cdot 1 = 1 \frac{5}{7}\). Представление единицы как \(\frac{1}{1}\) показывает, что числитель и знаменатель остаются без изменений, и смешанный вид сохраняется.

п) Произведение любого числа и нуля равно нулю: \(3 \frac{8}{9} \cdot 0 = 0\). Здесь перевод в неправильную дробь необязателен, так как нулевой множитель обнуляет результат сразу.