ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 413 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел.

Переместительное свойство — от перестановки слагаемых сумма не меняется:
\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} = \frac{b+a}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}\).

Сочетательное свойство — изменение расстановки скобок сумму не изменят:
\(\left(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}\right) + \frac{c}{d} = \frac{(a+b)+c}{d} = \frac{a+(b+c)}{d} = \frac{a}{d} + \left(\frac{b}{d} + \frac{c}{d}\right)\).

Переместительное свойство сложения говорит о том, что при сложении нескольких чисел порядок слагаемых не влияет на результат. Это означает, что если у нас есть два дробных выражения с одинаковым знаменателем, например, \(\frac{a}{c}\) и \(\frac{b}{c}\), то их сумма будет одинаковой независимо от того, как мы их переставим. Можно записать это так: \(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}\). Здесь мы видим, что сумма дробей равна дроби, в числителе которой стоит сумма числителей, а знаменатель остаётся тем же. Если поменять местами слагаемые, то получится \(\frac{b}{c} + \frac{a}{c} = \frac{b+a}{c}\), что по определению равно \(\frac{a+b}{c}\), так как сложение чисел коммутативно. Таким образом, перестановка слагаемых не меняет сумму.

Сочетательное свойство сложения связано с изменением порядка группировки слагаемых при сложении трёх и более чисел. Оно утверждает, что при сложении нескольких слагаемых неважно, как мы расставим скобки — результат останется тем же. Рассмотрим три дроби с одинаковым знаменателем: \(\frac{a}{d}\), \(\frac{b}{d}\), \(\frac{c}{d}\). Если сначала сложить \(\frac{a}{d}\) и \(\frac{b}{d}\), а затем добавить \(\frac{c}{d}\), то получим выражение \(\left(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}\right) + \frac{c}{d}\). По правилу сложения дробей с одинаковым знаменателем это равно \(\frac{(a+b)+c}{d}\). Если изменить расстановку скобок и сначала сложить \(\frac{b}{d}\) и \(\frac{c}{d}\), а затем прибавить \(\frac{a}{d}\), то получится \(\frac{a}{d} + \left(\frac{b}{d} + \frac{c}{d}\right) = \frac{a+(b+c)}{d}\). Поскольку сложение чисел ассоциативно, то \((a+b)+c = a+(b+c)\), следовательно, сумма не изменится.

Таким образом, оба свойства — переместительное и сочетательное — обеспечивают гибкость при работе с суммами. Переместительное свойство позволяет менять порядок слагаемых без изменения результата, а сочетательное — изменять группировку слагаемых, что особенно важно при сложении большого количества чисел. Эти свойства фундаментальны для арифметики и алгебры, так как дают возможность упрощать выражения и проводить вычисления удобным способом, не боясь потерять точность результата.