ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 305 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) \( \frac{5}{7} \) и \( \frac{1}{2} \);

б) \( \frac{7}{20} \) и \( \frac{1}{15} \);

в) \( \frac{3}{26} \) и \( \frac{5}{39} \);

г) \( \frac{8}{11} \) и \( \frac{5}{8} \);

д) \( \frac{7}{13} \) и \( \frac{2}{11} \);

е) \( \frac{3}{22} \) и \( \frac{2}{33} \);

ж) \( \frac{7}{60} \), \( \frac{13}{540} \) и \( \frac{9}{20} \);

з) \( \frac{52}{105} \), \( \frac{7}{95} \) и \( \frac{61}{63} \).

а) \( \frac{5}{7} \) и \( \frac{1}{2} \);

7 и 2 – простые числа.
НОК(7; 2) = 14.
\( \frac{5}{7} = \frac{10}{14} \) и \( \frac{1}{2} = \frac{7}{14} \).

б) \( \frac{7}{20} \) и \( \frac{1}{15} \);

\( 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5; \quad 15 = 3 \cdot 5; \)
НОК(20; 15) = \( 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \).
\( \frac{7}{20} = \frac{21}{60} \) и \( \frac{1}{15} = \frac{4}{60} \).

в) \( \frac{3}{26} \) и \( \frac{5}{39} \);

\( 26 = 2 \cdot 13; \quad 39 = 3 \cdot 13; \)
НОК(26; 39) = \( 2 \cdot 3 \cdot 13 = 78 \).
\( \frac{3}{26} = \frac{9}{78} \) и \( \frac{5}{39} = \frac{10}{78} \).

г) \( \frac{8}{11} \) и \( \frac{5}{8} \);

11 – простое число.
НОК(11; 8) = 88.
\( \frac{8}{11} = \frac{64}{88} \) и \( \frac{5}{8} = \frac{55}{88} \).

д) \( \frac{7}{13} \) и \( \frac{2}{11} \);

13 и 11 – простые числа.
НОК(13; 11) = 143.
\( \frac{7}{13} = \frac{77}{143} \) и \( \frac{2}{11} = \frac{26}{143} \).

е) \( \frac{3}{22} \) и \( \frac{2}{33} \);

\( 22 = 2 \cdot 11; \quad 33 = 3 \cdot 11; \)
НОК(22; 33) = \( 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66 \).
\( \frac{3}{22} = \frac{9}{66} \) и \( \frac{2}{33} = \frac{4}{66} \).

ж) \( \frac{7}{60} \), \( \frac{13}{540} \) и \( \frac{9}{20} \);

НОК(60; 540; 20) = 540.
\( \frac{7}{60} = \frac{63}{540}; \quad \frac{13}{540} = \frac{13}{540}; \quad \frac{9}{20} = \frac{243}{540} \).

з) \( \frac{52}{105} \), \( \frac{7}{95} \) и \( \frac{61}{63} \);

\( 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7; \quad 95 = 5 \cdot 19; \quad 63 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \).
НОК(105; 95; 63) = \( 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 = 45 \cdot 133 = 5985 \).
\( \frac{52}{105} = \frac{2964}{5985}; \quad \frac{7}{95} = \frac{441}{5985}; \quad \frac{61}{63} = \frac{5795}{5985} \).

а) Рассмотрим дроби \( \frac{5}{7} \) и \( \frac{1}{2} \). Для приведения дробей к общему знаменателю необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 7 и 2. Поскольку 7 и 2 — простые числа, их НОК равен произведению: \( \text{НОК}(7; 2) = 7 \times 2 = 14 \). Это значит, что обе дроби можно привести к знаменателю 14.

Чтобы привести дробь \( \frac{5}{7} \) к знаменателю 14, числитель и знаменатель умножаем на 2: \( \frac{5}{7} = \frac{5 \times 2}{7 \times 2} = \frac{10}{14} \). Аналогично, дробь \( \frac{1}{2} \) умножаем на 7: \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14} \). Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель, и их можно сравнивать или складывать.

б) Для дробей \( \frac{7}{20} \) и \( \frac{1}{15} \) найдем НОК знаменателей 20 и 15. Разложим числа на простые множители: \( 20 = 2^2 \times 5 \), \( 15 = 3 \times 5 \). НОК — это произведение всех простых множителей, взятых с максимальными степенями: \( \text{НОК}(20; 15) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60 \).

Приводим дроби к знаменателю 60. Для \( \frac{7}{20} \) умножаем числитель и знаменатель на 3: \( \frac{7}{20} = \frac{7 \times 3}{20 \times 3} = \frac{21}{60} \). Для \( \frac{1}{15} \) умножаем на 4: \( \frac{1}{15} = \frac{1 \times 4}{15 \times 4} = \frac{4}{60} \). Теперь обе дроби имеют общий знаменатель, что упрощает их сравнение.

в) Дроби \( \frac{3}{26} \) и \( \frac{5}{39} \) имеют знаменатели 26 и 39. Разложим их на простые множители: \( 26 = 2 \times 13 \), \( 39 = 3 \times 13 \). НОК будет произведением всех простых множителей с максимальными степенями: \( \text{НОК}(26; 39) = 2 \times 3 \times 13 = 78 \).

Приводим дроби к знаменателю 78. Для \( \frac{3}{26} \) умножаем числитель и знаменатель на 3: \( \frac{3}{26} = \frac{3 \times 3}{26 \times 3} = \frac{9}{78} \). Для \( \frac{5}{39} \) умножаем на 2: \( \frac{5}{39} = \frac{5 \times 2}{39 \times 2} = \frac{10}{78} \). Теперь обе дроби имеют общий знаменатель 78.

г) Рассмотрим дроби \( \frac{8}{11} \) и \( \frac{5}{8} \). Число 11 — простое, а 8 — \( 2^3 \). НОК равен произведению этих чисел: \( \text{НОК}(11; 8) = 11 \times 8 = 88 \).

Приводим дроби к знаменателю 88. Для \( \frac{8}{11} \) умножаем числитель и знаменатель на 8: \( \frac{8}{11} = \frac{8 \times 8}{11 \times 8} = \frac{64}{88} \). Для \( \frac{5}{8} \) умножаем на 11: \( \frac{5}{8} = \frac{5 \times 11}{8 \times 11} = \frac{55}{88} \). Теперь обе дроби имеют общий знаменатель.

д) Для дробей \( \frac{7}{13} \) и \( \frac{2}{11} \) знаменатели 13 и 11 — простые числа. Их НОК — произведение: \( \text{НОК}(13; 11) = 13 \times 11 = 143 \).

Приводим дроби к знаменателю 143. Для \( \frac{7}{13} \) умножаем на 11: \( \frac{7}{13} = \frac{7 \times 11}{13 \times 11} = \frac{77}{143} \). Для \( \frac{2}{11} \) умножаем на 13: \( \frac{2}{11} = \frac{2 \times 13}{11 \times 13} = \frac{26}{143} \). Теперь обе дроби имеют общий знаменатель.

е) Рассмотрим дроби \( \frac{3}{22} \) и \( \frac{2}{33} \). Разложим знаменатели: \( 22 = 2 \times 11 \), \( 33 = 3 \times 11 \). НОК будет: \( \text{НОК}(22; 33) = 2 \times 3 \times 11 = 66 \).

Приводим дроби к знаменателю 66. Для \( \frac{3}{22} \) умножаем на 3: \( \frac{3}{22} = \frac{3 \times 3}{22 \times 3} = \frac{9}{66} \). Для \( \frac{2}{33} \) умножаем на 2: \( \frac{2}{33} = \frac{2 \times 2}{33 \times 2} = \frac{4}{66} \). Теперь обе дроби имеют общий знаменатель.

ж) Для дробей \( \frac{7}{60} \), \( \frac{13}{540} \) и \( \frac{9}{20} \) найдем НОК знаменателей 60, 540 и 20. Известно, что \( 540 = 2^2 \times 3^3 \times 5 \), \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \), \( 20 = 2^2 \times 5 \). Максимальные степени простых множителей: \( 2^2, 3^3, 5 \). Значит, \( \text{НОК}(60; 540; 20) = 540 \).

Приводим дроби к знаменателю 540. Для \( \frac{7}{60} \) умножаем на 9: \( \frac{7}{60} = \frac{7 \times 9}{60 \times 9} = \frac{63}{540} \). Для \( \frac{13}{540} \) знаменатель уже 540. Для \( \frac{9}{20} \) умножаем на 27: \( \frac{9}{20} = \frac{9 \times 27}{20 \times 27} = \frac{243}{540} \).

з) Дроби \( \frac{52}{105} \), \( \frac{7}{95} \) и \( \frac{61}{63} \) имеют знаменатели 105, 95 и 63. Их разложения: \( 105 = 3 \times 5 \times 7 \), \( 95 = 5 \times 19 \), \( 63 = 3^2 \times 7 \). НОК — произведение всех простых множителей с максимальными степенями: \( 3^2 \times 5 \times 7 \times 19 = 9 \times 5 \times 7 \times 19 = 5985 \).

Приводим дроби к знаменателю 5985. Для \( \frac{52}{105} \) умножаем на 57: \( \frac{52}{105} = \frac{52 \times 57}{105 \times 57} = \frac{2964}{5985} \). Для \( \frac{7}{95} \) умножаем на 63: \( \frac{7}{95} = \frac{7 \times 63}{95 \times 63} = \frac{441}{5985} \). Для \( \frac{61}{63} \) умножаем на 95: \( \frac{61}{63} = \frac{61 \times 95}{63 \times 95} = \frac{5795}{5985} \). Теперь все дроби имеют общий знаменатель.