ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 245 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:
а) 18 и 36; б) 33 и 44; в) 378 и 441; г) 11 340 и 37 800.

а) Разложим числа на простые множители: \(18=2\cdot3\cdot3\), \(36=2\cdot2\cdot3\cdot3\). Общие множители дают НОД: \( \text{НОД}(18;36)=2\cdot3\cdot3=18\). Объединение всех множителей даёт НОК: \( \text{НОК}(18;36)=2\cdot2\cdot3\cdot3=36\).

б) \(33=3\cdot11\), \(44=2\cdot2\cdot11\). Общий множитель \(11\): \( \text{НОД}(33;44)=11\). НОК — произведение всех простых множителей с максимальными степенями: \( \text{НОК}(33;44)=2\cdot2\cdot3\cdot11=132\).

в) Разложим: \(378=2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\), \(441=3\cdot3\cdot7\cdot7\). Общие множители \(3\cdot3\cdot7\): \( \text{НОД}(378;441)=63\). НОК — объединение множителей: \( \text{НОК}(378;441)=2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7=2646\).

г) \(11340=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\), \(37800=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\). Общие множители: \( \text{НОД}(11340;37800)=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7=3780\). НОК — объединение с максимальными степенями: \( \text{НОК}(11340;37800)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7=113400\).

а) Для чисел \(18\) и \(36\) выполним поэтапное разложение на простые множители и покажем, как из него находить НОД и НОК. Сначала делим \(18\) на минимальные простые: \(18=2\cdot9=2\cdot3\cdot3=2\cdot3^{2}\). Для \(36\): \(36=2\cdot18=2\cdot(2\cdot3\cdot3)=2^{2}\cdot3^{2}\). НОД получается как произведение общих простых множителей, взятых в наименьших степенях: общие множители \(2\) и \(3\) со степенями \(2^{1}\) и \(3^{2}\), значит \( \text{НОД}(18;36)=2^{1}\cdot3^{2}=2\cdot9=18\). НОК берём как произведение всех простых множителей, взятых в наибольших степенях, встречающихся в разложениях: \(2^{2}\) и \(3^{2}\), значит \( \text{НОК}(18;36)=2^{2}\cdot3^{2}=4\cdot9=36\).

б) Для \(33\) и \(44\) разложим на простые: \(33=3\cdot11\), \(44=4\cdot11=2^{2}\cdot11\). НОД — произведение общих простых множителей в минимальных степенях. Общий множитель только \(11\) со степенью \(11^{1}\), поэтому \( \text{НОД}(33;44)=11\). НОК — произведение всех простых множителей в максимальных степенях: берём \(2^{2}\) (из \(44\)), \(3^{1}\) (из \(33\)), \(11^{1}\) (общий), получаем \( \text{НОК}(33;44)=2^{2}\cdot3^{1}\cdot11^{1}=4\cdot3\cdot11=132\). Такой подход гарантирует, что НОК кратен каждому из чисел, а НОД делит каждое из них без остатка.

в) Для \(378\) и \(441\) распишем полностью. Делим \(378\): \(378=2\cdot189=2\cdot3\cdot63=2\cdot3\cdot3\cdot21=2\cdot3^{3}\cdot7\), то есть \(378=2^{1}\cdot3^{3}\cdot7^{1}\). Для \(441\): это квадрат \(21\), а \(21=3\cdot7\), значит \(441=21^{2}=(3\cdot7)^{2}=3^{2}\cdot7^{2}\). НОД берём по минимальным степеням общих простых: по \(3\) минимум \(3^{2}\), по \(7\) минимум \(7^{1}\), по \(2\) общего нет, итого \( \text{НОД}(378;441)=3^{2}\cdot7^{1}=9\cdot7=63\). НОК — по максимальным степеням: \(2^{1}\) (только в \(378\)), \(3^{3}\) (больше, чем \(3^{2}\)), \(7^{2}\) (больше, чем \(7^{1}\)), значит \( \text{НОК}(378;441)=2^{1}\cdot3^{3}\cdot7^{2}=2\cdot27\cdot49=2646\). Проверка: \(2646\) делится на \(378\) и на \(441\), а меньшего общего кратного нет, поскольку степени выбраны максимально из обоих разложений.

г) Для \(11340\) и \(37800\) аккуратно факторизуем. \(11340\) делим последовательно: \(11340=2\cdot5670=2^{2}\cdot2835\), далее \(2835=3\cdot945=3^{2}\cdot315\), \(315=3\cdot105=3^{3}\cdot105\), \(105=3\cdot35\) неверно, корректно: \(105=3\cdot35\) невозможно, так как \(105\) делится на \(3\), но уже учтено; лучше продолжить: после \(315=3\cdot105\), \(105=5\cdot21\), \(21=3\cdot7\). В итоге \(11340=2^{2}\cdot3^{3}\cdot5^{1}\cdot7^{1}\). Для \(37800\): \(37800=378\cdot100=(2\cdot3^{3}\cdot7)\cdot(2^{2}\cdot5^{2})=2^{3}\cdot3^{3}\cdot5^{2}\cdot7^{1}\). НОД берём по минимальным степеням для каждого общего простого: \(2^{\min(2,3)}=2^{2}\), \(3^{\min(3,3)}=3^{3}\), \(5^{\min(1,2)}=5^{1}\), \(7^{\min(1,1)}=7^{1}\). Следовательно, \( \text{НОД}(11340;37800)=2^{2}\cdot3^{3}\cdot5^{1}\cdot7^{1}=4\cdot27\cdot5\cdot7=3780\). НОК берём по максимальным степеням: \(2^{\max(2,3)}=2^{3}\), \(3^{\max(3,3)}=3^{3}\), \(5^{\max(1,2)}=5^{2}\), \(7^{\max(1,1)}=7^{1}\). Тогда \( \text{НОК}(11340;37800)=2^{3}\cdot3^{3}\cdot5^{2}\cdot7^{1}=8\cdot27\cdot25\cdot7=113400\). Эти результаты совпадают с вычислениями на рисунке: НОД равен произведению общих простых в минимальных степенях, а НОК — произведению всех простых в максимальных степенях, что обеспечивает кратность НОК обоим числам и делимость НОД каждого числа.