ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 236 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: 1) 2450 и 3500; 2) 792 и 2178.

1) Краткое решение: разложим \(2450=2\cdot5^2\cdot7\) и \(3500=2^2\cdot5^3\cdot7\). Тогда \( \text{НОД}(2450,3500)=2\cdot5^2\cdot7=350\), а \( \text{НОК}(2450,3500)=2^2\cdot5^3\cdot7^2=24500\).

Краткое объяснение: НОД берём по минимальным степеням общих простых делителей, НОК — по максимальным степеням, включая все делители.

2) Краткое решение: разложим \(792=2^3\cdot3^2\cdot11\) и \(2178=2\cdot3^3\cdot11\). Тогда \( \text{НОД}(792,2178)=2\cdot3^2\cdot11=198\), а \( \text{НОК}(792,2178)=2^3\cdot3^3\cdot11^2=8712\).

Краткое объяснение: для НОД берём общие простые делители в наименьших степенях, для НОК — в наибольших степенях.

1) Краткое решение: выполним поэтапное простое разложение. Делим \(2450\) на простые числа: \(2450:2=1225\), \(1225:5=245\), \(245:5=49\), \(49:7=7\), \(7:7=1\). Отсюда \(2450=2\cdot5^2\cdot7\). Аналогично для \(3500\): \(3500:2=1750\), \(1750:2=875\), \(875:5=175\), \(175:5=35\), \(35:7=5\), \(5:5=1\). Получаем \(3500=2^2\cdot5^3\cdot7\). НОД берётся как произведение общих простых делителей в минимальных степенях: минимумы степеней для \(2,5,7\) равны \(1,2,1\), значит \( \text{НОД}(2450,3500)=2^1\cdot5^2\cdot7^1=2\cdot25\cdot7=350\). НОК берётся по максимальным степеням всех встретившихся простых: максимумы для \(2,5,7\) равны \(2,3,2\), поэтому \( \text{НОК}(2450,3500)=2^2\cdot5^3\cdot7^2=4\cdot125\cdot49=24500\).

Краткое объяснение: метод основан на единственности разложения числа на простые множители. Для каждого простого \(p\) сравниваем показатели степеней в разложениях двух чисел: для НОД берём меньший показатель, чтобы множитель делил оба числа; для НОК берём больший показатель, чтобы результат кратен каждому числу. Проверка: \(2450\) и \(3500\) оба делятся на \(350\), а \(24500\) делится и на \(2450\) (\(24500:2450=10\)) и на \(3500\) (\(24500:3500=7\)), что подтверждает корректность.

2) Краткое решение: разложим \(792\). Последовательно делим: \(792:2=396\), \(396:2=198\), \(198:2=99\), \(99:3=33\), \(33:3=11\), \(11:11=1\). Имеем \(792=2^3\cdot3^2\cdot11\). Для \(2178\): \(2178:2=1089\), \(1089:3=363\), \(363:3=121\), \(121:11=11\), \(11:11=1\). Получаем \(2178=2^1\cdot3^2\cdot11^2\). НОД — произведение общих простых с минимальными степенями: для \(2,3,11\) минимумы \(1,2,1\), значит \( \text{НОД}(792,2178)=2^1\cdot3^2\cdot11^1=2\cdot9\cdot11=198\). НОК — произведение по максимальным степеням: для \(2,3,11\) максимумы \(3,2,2\), следовательно \( \text{НОК}(792,2178)=2^3\cdot3^2\cdot11^2=8\cdot9\cdot121=8712\).

Краткое объяснение: совпадающие простые множители обеспечивают делимость. В НОД нельзя брать степени выше минимальных, иначе множитель перестанет делить одно из чисел; в НОК необходимо покрыть наибольшую встречающуюся степень каждого простого, чтобы результат был кратен обоим. Проверка: \(792:198=4\) и \(2178:198=11\), значит \(198\) действительно общий делитель максимальный; \(8712:792=11\) и \(8712:2178=4\), значит \(8712\) является общим кратным минимальным.