ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 231 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите, пользуясь рисунком 12, координаты точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Есть ли среди этих точек такие, координаты которых — общие кратные чисел \(m\) и \(n\)?

A \((2m)\); B \((2n)\) или \((3m)\); C \((3n)\); D \((6m)\) или \((4n)\).

Общие кратные чисел \(m\) и \(n\) имеют точки B и D, так как их возможные координаты \((3m,\,2n,\,6m,\,4n)\) являются общими кратными \(m\) и \(n\) при соответствующих значениях.

A \((2m)\); B \((2n)\) или \((3m)\); C \((3n)\); D \((6m)\) или \((4n)\). Эти записи читаются так: точка A расположена в позиции, кратной \(m\), конкретно \(2m\); точка B может совпадать либо с координатой, кратной \(n\), а именно \(2n\), либо с координатой, кратной \(m\), а именно \(3m\); точка C имеет координату, кратную \(n\), равную \(3n\); точка D может иметь координату, кратную \(m\), равную \(6m\), либо координату, кратную \(n\), равную \(4n\). Таким образом, каждое указанное значение явно выражено как целая кратность одного из чисел \(m\) или \(n\).

Чтобы определить, есть ли среди этих точек такие, координаты которых являются общими кратными \(m\) и \(n\), проверяем, может ли координата одновременно представляться в форме \(km\) и в форме \(ln\) при целых \(k\) и \(l\). Для точки B берём вариант \(3m\) и сравниваем с вариантом \(2n\): если координата точки одинакова, то требуется равенство \(3m=2n\), то есть \(\frac{m}{n}=\frac{2}{3}\). При таком соотношении B действительно имеет общую кратную координату, потому что она одновременно кратна \(m\) и \(n\). Аналогично для точки D сравниваем \(6m\) и \(4n\): равенство \(6m=4n\) даёт \(\frac{m}{n}=\frac{2}{3}\), и тогда координата D также становится общей кратной.

Следовательно, при условии \(\frac{m}{n}=\frac{2}{3}\) обе точки B и D лежат в общих кратных \(m\) и \(n\): для B это одна и та же координата, удовлетворяющая одновременно формам \(3m\) и \(2n\), а для D — одновременно формам \(6m\) и \(4n\). В противном случае общих кратных среди указанных координат нет, то есть множество таких точек \(\emptyset\).