ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 208 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите наименьшее общее кратное чисел \(a\) и \(b\), если:
a) \(a = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13\), \(b = 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 13\);
б) \(a = 504\), \(b = 540\).

а) \(a = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13\); \(b = 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 13\).

НОК \((a; b) = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 13 = 25 \cdot 49 \cdot 13 = 1225 \cdot 13 = 15925\).

б) \(a = 504\); \(b = 540\).

Разложение на простые множители:

\[
\begin{array}{c|c}
504 & 2 \\
252 & 2 \\
126 & 2 \\
63 & 3 \\
21 & 3 \\
7 & 7 \\
1 & \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{c|c}
540 & 2 \\
270 & 2 \\
135 & 3 \\
45 & 3 \\
15 & 3 \\
5 & 5 \\
1 & \\
\end{array}
\]

НОК \((a; b) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 27 \cdot 35 = 280 \cdot 27 = 7560\).

а) Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) чисел \(a\) и \(b\) сначала разложим их на простые множители. Число \(a\) представлено в виде произведения \(5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13\), что можно записать как \(5^2 \cdot 7 \cdot 13\). Число \(b\) разложено как \(5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 13\), то есть \(5 \cdot 7^2 \cdot 13\). Для нахождения НОК нужно взять все простые множители с максимальными степенями из разложений обоих чисел. В данном случае это будет \(5^2\), так как у \(a\) степень двойки, и \(7^2\), так как у \(b\) степень двойки, а также \(13\) в первой степени, так как оно встречается в обоих числах по одному разу.

Следовательно, НОК \((a; b) = 5^2 \cdot 7^2 \cdot 13\). Вычислим это по шагам: \(5^2 = 25\), \(7^2 = 49\), тогда \(25 \cdot 49 = 1225\). Умножая на \(13\), получаем \(1225 \cdot 13 = 15925\). Таким образом, наименьшее общее кратное чисел \(a\) и \(b\) равно \(15925\).

б) Рассмотрим числа \(a = 504\) и \(b = 540\). Для нахождения НОК сначала разложим каждое число на простые множители. Для \(504\) деление на простые числа происходит так: \(504 \div 2 = 252\), \(252 \div 2 = 126\), \(126 \div 2 = 63\), \(63 \div 3 = 21\), \(21 \div 3 = 7\), \(7 \div 7 = 1\). Значит, \(504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7\). Для числа \(540\) разложение: \(540 \div 2 = 270\), \(270 \div 2 = 135\), \(135 \div 3 = 45\), \(45 \div 3 = 15\), \(15 \div 3 = 5\), \(5 \div 5 = 1\). Значит, \(540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5\).

Для нахождения НОК возьмём максимальные степени простых множителей из обоих разложений: для \(2\) это \(2^3\), для \(3\) — \(3^3\), для \(5\) — \(5^1\), для \(7\) — \(7^1\). Тогда НОК \((a; b) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7\). Вычислим: \(2^3 = 8\), \(3^3 = 27\), \(8 \cdot 27 = 216\), \(216 \cdot 5 = 1080\), \(1080 \cdot 7 = 7560\). Таким образом, наименьшее общее кратное чисел \(504\) и \(540\) равно \(7560\).