ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 195 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 12 и 24;
б) 6 и 9;
в) 75 и 45;
г) 81 и 243;
д) 4725 и 7875.

а) \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\);
НОД \((12; 24) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\).

б) \(6 = 2 \cdot 3\), \(9 = 3 \cdot 3\);
НОД \((6; 9) = 3\).

в) \(75 = 3 \cdot 5 \cdot 5\), \(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\);
НОД \((75; 45) = 3 \cdot 5 = 15\).

г) НОД \((81; 243) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\).

д) НОД \((4725; 7875) = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 9 \cdot 175 = 1575\).

а) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 12 и 24 сначала разложим каждое число на простые множители. Число 12 раскладывается как \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\). Число 24 раскладывается как \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3\). Чтобы найти НОД, нужно взять все простые множители, которые встречаются в разложениях обоих чисел, с наименьшими степенями. Для числа 2 минимальная степень — это 2, для числа 3 — 1. Значит, НОД равен \(2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\). Это значит, что 12 — максимальное число, на которое делятся и 12, и 24 без остатка.

б) Рассмотрим числа 6 и 9. Разложим их на простые множители: \(6 = 2 \cdot 3\), \(9 = 3 \cdot 3 = 3^2\). Общий простой множитель у них только один — число 3. Минимальная степень для 3 — 1, так как у 6 оно встречается в первой степени. Следовательно, НОД равен \(3\). Это число является наибольшим числом, которое делит и 6, и 9 без остатка.

в) Для чисел 75 и 45 разложим на простые множители: \(75 = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 5^2\), \(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5\). Общие простые множители — 3 и 5. Минимальная степень для 3 — 1 (у 75), для 5 — 1 (у 45). Значит, НОД будет равен \(3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15\). Это максимальное число, на которое делятся и 75, и 45.

г) Для чисел 81 и 243 применим метод деления. 81 и 243 разлагаются на простые множители как \(81 = 3^4\), \(243 = 3^5\). Чтобы найти НОД, можно использовать последовательное деление на 3:

Общее количество делений — 4, значит НОД равен \(3^4 = 81\). Это число делит и 81, и 243 без остатка, и является их наибольшим общим делителем.

д) Рассмотрим более сложный пример с числами 4725 и 7875. Разложим оба числа на простые множители с помощью последовательного деления:
Общие множители: \(3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7\). Перемножая, получаем НОД: \(3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 9 \cdot 175 = 1575\). Это наибольшее число, которое делит оба исходных числа без остатка.