ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 194 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Какие из следующих утверждений верны:
а) два чётных числа не могут быть взаимно простыми;
б) чётное и нечётное числа всегда взаимно простые;
в) два различных простых числа всегда взаимно простые;
г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми;
д) любое натуральное число и натуральное число, не являющееся ни простым, ни составным, обязательно взаимно простые;
е) последовательные натуральные числа всегда взаимно простые?

а) Для вычисления производной функции \( y = \sin^2 x \) используем правило цепочки:
\( y’ = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x \).

б) Производная функции \( y = \frac{1}{x^3} \) равна
\( y’ = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \).

в) Производная функции \( y = \sqrt{x^3 + 1} \) равна
\( y’ = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \).

а) Рассмотрим функцию \( y = \sin^2 x \). Это сложная функция, так как возводится в квадрат результат функции синуса. Для нахождения производной применяем правило цепочки: сначала берём производную внешней функции, считая внутреннюю за переменную, а затем умножаем на производную внутренней функции. Внешняя функция — это возведение в квадрат, её производная равна \( 2u \), где \( u = \sin x \). Внутренняя функция — \( \sin x \), её производная равна \( \cos x \). Таким образом, производная будет равна произведению: \( y’ = 2 \sin x \cdot \cos x \).

Далее используем тригонометрическую формулу удвоенного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Подставляя, получаем, что \( y’ = \sin 2x \). Это даёт нам компактное и удобное выражение для производной функции \( y = \sin^2 x \).

б) Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{x^3} \). Её можно переписать в виде степенной функции с отрицательным показателем: \( y = x^{-3} \). Для нахождения производной степенной функции используется формула: \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \). Здесь \( n = -3 \), поэтому производная равна \( y’ = -3 x^{-4} \). Возвращаясь к дробному виду, получаем \( y’ = -\frac{3}{x^4} \).

в) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x^3 + 1} \). Корень квадратный можно представить как степень \( \frac{1}{2} \), то есть \( y = (x^3 + 1)^{\frac{1}{2}} \). Это сложная функция, состоящая из внешней степени и внутреннего многочлена. Для нахождения производной применяем правило цепочки: производная внешней функции \( u^{\frac{1}{2}} \) равна \( \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \), где \( u = x^3 + 1 \). Производная внутренней функции \( u’ = 3x^2 \).

Перемножая, получаем:
\( y’ = \frac{1}{2} (x^3 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3 + 1}} \). Это выражение показывает скорость изменения функции \( y \) относительно \( x \).