ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 192 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Каждую из дробей \(\frac{a}{5}\) и \(\frac{b}{6}\), где \(a\) и \(b\) — натуральные числа, можно представить в виде десятичной. Могут ли \(a\) и 5, \(b\) и 6 быть взаимно простыми? Могут ли два одинаковых числа быть взаимно простыми?

а и \( \frac{b}{6} \) — десятичные дроби.

Числа а и 5 могут быть взаимно простыми числами и дробь будет десятичной, так как знаменатель дроби можно преобразовать в число 10; 100; 1000 …
Числа а и 6 не могут быть взаимно простыми числами и дробь не будет десятичной, так как знаменатель дроби нельзя преобразовать в число 10; 100; 1000 …
Два одинаковых числа не могут быть взаимно простыми числами, так как у них будет минимум два делителя: 1 и само число.

Числа \( a \) и 5 могут быть взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1. В этом случае дробь с знаменателем, кратным 5, можно преобразовать в десятичную дробь, потому что знаменатель дроби можно представить в виде степени числа 10, например, \( 10^1 = 10 \), \( 10^2 = 100 \), \( 10^3 = 1000 \) и так далее. Это возможно, если знаменатель дроби состоит только из множителей 2 и 5, так как такие дроби при делении дают конечное число десятичных знаков. Поэтому, если \( a \) и 5 взаимно просты, дробь будет десятичной, то есть её можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если же числа \( a \) и 6 не являются взаимно простыми, то у них есть общий делитель, отличный от 1. Это значит, что знаменатель дроби содержит множители, которые нельзя представить в виде степени 10, например, 3, так как \( 6 = 2 \times 3 \). В таком случае дробь не будет десятичной, потому что знаменатель дроби нельзя преобразовать в \( 10^n \) для некоторого натурального \( n \). При делении такой дроби десятичное представление будет бесконечным и периодическим, а не конечным. Именно поэтому взаимная простота чисел \( a \) и 6 невозможна для получения конечной десятичной дроби.

Два одинаковых числа не могут быть взаимно простыми, так как у них всегда будут как минимум два общих делителя: 1 и само это число. Например, если взять число \( a \) и число \( a \), то их общий делитель — это \( a \), а значит они не являются взаимно простыми. Взаимно простыми считаются только такие числа, у которых единственный общий делитель — это 1. Следовательно, если числа совпадают, они не могут быть взаимно простыми, что исключает возможность получения конечной десятичной дроби при таких условиях.