ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 190 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Составьте множество \(A\), состоящее из простых делителей числа 108, и множество \(B\), состоящее из простых делителей числа 144. Найдите множества \(C = A \cup B\) и \(D = A \cap B\).
Вычислите произведение всех чисел из множества \(C\) и сравните его с наибольшим общим делителем чисел 108 и 144.
Вычислите произведение всех чисел из множества \(D\) и сравните его с наименьшим общим кратным чисел 108 и 144.

Множество \(A\) состоит из простых делителей числа 108:
\(A = \{2; 2; 3; 3; 3\}\).

Множество \(B\) состоит из простых делителей числа 144:
\(B = \{2; 2; 2; 2; 3; 3\}\).

Объединение множеств \(A\) и \(B\):
\(C = A \cup B = \{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\} = 16 \cdot 27 = 432\).

НОД (наибольший общий делитель) чисел 108 и 144:
\(\text{НОД}(108; 144) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36\).

Множество \(C\) равно НОК (наименьшее общее кратное) чисел и больше, чем НОД чисел в
\(\frac{432}{36} = 12\) раз.

Пересечение множеств \(A\) и \(B\):
\(D = A \cap B = \{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\} = 4 \cdot 9 = 36\).

НОК чисел 108 и 144:
\(\text{НОК}(108; 144) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 16 \cdot 27 = 432\).

Множество \(D\) равно НОД чисел и меньше, чем НОК чисел в
\(\frac{432}{36} = 12\) раз.

Множество простых делителей числа 108 представляет собой набор простых чисел, которые при умножении дают число 108. Чтобы найти эти делители, число 108 раскладывают на простые множители:
\(108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
Таким образом, множество \(A\) простых делителей числа 108 записывается как \(A = \{2; 2; 3; 3; 3\}\).

Аналогично для числа 144 производим разложение на простые делители:
\(144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\).
Отсюда множество простых делителей \(B\) числа 144 будет \(B = \{2; 2; 2; 2; 3; 3\}\).

Следующий шаг — найти объединение множеств \(A\) и \(B\), которое содержит все простые делители из обоих множеств с максимальной степенью каждого простого делителя. Для числа 108 и 144 максимальная степень двойки — 4, а тройки — 3, поэтому
\(C = A \cup B = \{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\} = 16 \cdot 27 = 432\).
Это число является наименьшим общим кратным (НОК) чисел 108 и 144.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) нужно взять пересечение множеств \(A\) и \(B\), то есть простые делители с минимальной степенью, которые встречаются в обоих числах. Для двойки это степень 2, для тройки — степень 2, значит:
\(\text{НОД}(108; 144) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36\).
Множество \(D = A \cap B = \{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\}\).

Теперь можно сравнить НОК и НОД:
\(C = 432\),
\(D = 36\).
Число 432 больше 36 ровно в \( \frac{432}{36} = 12 \) раз. Это показывает, что наименьшее общее кратное больше наибольшего общего делителя в 12 раз.

Таким образом, множество \(C\) соответствует НОК чисел 108 и 144, а множество \(D\) — их НОД. Множество \(C\) содержит простые делители с максимальными степенями, а множество \(D\) — с минимальными. Их отношение равно 12, что отражает разницу между НОК и НОД для данных чисел.