ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 186 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли оно произведению 54 и 65? Запишите какие-нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод.

54 = 2 · 3 · 3 · 3; 65 = 5 · 13.

НОД (54; 65) = 1 – взаимно простые числа.

НОК (54; 65) = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 13 = 54 · 65 – равно произведению 54 и 65.

Числа 51 и 95 – взаимно простые, так как

51 = 3 · 17; 95 = 5 · 19;

НОД (51; 95) = 1.

НОК (51; 95) = 3 · 5 · 17 · 19 = 51 · 95 – равно произведению 51 и 95.

Если числа являются взаимно простыми, то их НОК равно произведению данных чисел.

Число 54 раскладывается на простые множители как \(54 = 2 \cdot 3^{3}\), поскольку 54 делится на 2 и на 3 три раза подряд (3 · 3 · 3). Число 65 раскладывается на простые множители как \(65 = 5 \cdot 13\), так как 65 делится на 5 и на 13. Для определения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел нужно найти общий множитель с наибольшей степенью. В данном случае у 54 и 65 общих простых множителей нет, поэтому НОД равен 1, то есть \( \mathrm{НОД}(54; 65) = 1 \). Это означает, что числа 54 и 65 являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей, кроме 1.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это минимальное число, которое делится на оба данных числа. Для его нахождения нужно взять все простые множители из разложений чисел в максимальных степенях, которые встречаются у них. В данном случае все простые множители 54 и 65 разные, поэтому НОК равен произведению всех простых множителей: \( \mathrm{НОК}(54; 65) = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 13 = 54 \cdot 65 \). Это подтверждает свойство, что для взаимно простых чисел НОК равен произведению этих чисел.

Рассмотрим другой пример с числами 51 и 95. Число 51 раскладывается как \(51 = 3 \cdot 17\), а число 95 как \(95 = 5 \cdot 19\). Здесь также нет общих простых множителей, значит \( \mathrm{НОД}(51; 95) = 1 \), и числа 51 и 95 взаимно простые. Следовательно, их НОК равен произведению простых множителей: \( \mathrm{НОК}(51; 95) = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19 = 51 \cdot 95 \). Из этого следует важное правило: если два числа взаимно простые, то их НОК равен произведению этих чисел.