ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 175 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые.

864 и 875

864 делится на 2:
864 ÷ 2 = 432
432 ÷ 2 = 216
216 ÷ 2 = 108
108 ÷ 2 = 54
54 ÷ 2 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

875 делится на 5:
875 ÷ 5 = 175
175 ÷ 5 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1

НОД(864; 875) = 1 — взаимно простые числа.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 864 и 875 воспользуемся разложением каждого числа на простые множители. Это позволит понять, какие простые числа входят в состав каждого из них, и определить общий делитель.

Начнем с числа 864. Делим его последовательно на простые числа, начиная с 2, так как 864 — четное число. Получаем:
\(864 \div 2 = 432\),
\(432 \div 2 = 216\),
\(216 \div 2 = 108\),
\(108 \div 2 = 54\),
\(54 \div 2 = 27\).
На этом этапе 27 уже не делится на 2, переходим к следующему простому числу — 3:
\(27 \div 3 = 9\),
\(9 \div 3 = 3\),
\(3 \div 3 = 1\).
Таким образом, разложение числа 864 на простые множители выглядит как
\(864 = 2^5 \times 3^3\).

Теперь рассмотрим число 875. Оно нечетное, поэтому начинаем деление с 5, так как 875 оканчивается на 5 и делится на 5:
\(875 \div 5 = 175\),
\(175 \div 5 = 35\),
\(35 \div 5 = 7\).
Число 7 — простое, и
\(7 \div 7 = 1\).
Разложение числа 875 на простые множители:
\(875 = 5^3 \times 7\).

Для определения НОД нужно найти произведение всех простых множителей, которые встречаются в разложениях обоих чисел с наименьшими степенями. В разложении 864 есть множители 2 и 3, а в разложении 875 — 5 и 7. Общих простых множителей нет, значит,
\(\text{НОД}(864; 875) = 1\).

Это означает, что числа 864 и 875 являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей, кроме единицы.