ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 174 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель чисел:  

а) 585 и 360;  

б) 680 и 612;  

в) 60, 80 и 48;  

г) 195, 156 и 260.

а) Разложим на простые множители:
585 = \(3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13\),
360 = \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\).
Общие множители: \(3 \cdot 3 \cdot 5\).
НОД(585; 360) = \(3 \cdot 3 \cdot 5 = 45\).

б) Разложим на простые множители:
680 = \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 17\),
612 = \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17\).
Общие множители: \(2 \cdot 2 \cdot 17\).
НОД(680; 612) = \(2 \cdot 2 \cdot 17 = 68\).

в) Разложим на простые множители:
60 = \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\),
80 = \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\),
48 = \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\).
Общие множители: \(2 \cdot 2\).
НОД(60; 80; 48) = \(2 \cdot 2 = 4\).

г) Разложим на простые множители:
195 = \(3 \cdot 5 \cdot 13\),
156 = \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13\),
260 = \(2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13\).
Общий множитель: \(13\).
НОД(195; 156; 260) = \(13\).

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 585 и 360, сначала разложим каждое число на простые множители. Простые множители — это числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Для 585 разложение будет таким: \(585 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13\). Это значит, что 585 делится на 3 два раза подряд, затем на 5 и на 13. Для числа 360 разложение: \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\), то есть 360 делится три раза на 2, два раза на 3 и один раз на 5.

Теперь посмотрим, какие простые множители есть у обоих чисел одновременно. У 585 и 360 общими простыми множителями являются \(3^2\) и \(5\), так как оба числа содержат эти множители. Значит, НОД будет произведением этих общих множителей: \(НОД(585; 360) = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45\). Это число является максимальным, на которое можно одновременно разделить и 585, и 360 без остатка.

Такой способ нахождения НОД называется методом разложения на простые множители. Он позволяет точно определить все общие делители, а затем выбрать наибольший из них. Это особенно удобно для больших чисел, где проще работать с простыми множителями, чем с делением поочередно.

б) Для чисел 680 и 612 разложим каждое на простые множители. Начнем с 680: \(680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17\). Это означает, что 680 делится три раза на 2, один раз на 5 и один раз на 17. Для 612: \(612 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17\), то есть 612 делится два раза на 2, два раза на 3 и один раз на 17.

Чтобы найти НОД, выделяем общие простые множители с наименьшими степенями. Для 680 и 612 это: \(2^2\) (так как у 680 три двойки, а у 612 две, берём меньшую степень) и \(17\), который есть у обоих чисел. Множитель 3 и 5 не входят в НОД, так как они есть только в одном из чисел. Значит, \(НОД(680; 612) = 2^2 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68\).

Этот пример показывает, что при вычислении НОД важно учитывать степень каждого простого множителя и брать минимальную степень, чтобы делитель был общим для обоих чисел. Такой подход гарантирует, что результат — максимальный общий делитель.

в) Для трёх чисел 60, 80 и 48 также разложим их на простые множители. Для 60: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), для 80: \(80 = 2^4 \cdot 5\), для 48: \(48 = 2^4 \cdot 3\). Здесь видно, что все три числа содержат множитель 2, но в разной степени: 60 имеет \(2^2\), а 80 и 48 — \(2^4\). Также 60 и 80 содержат 5, а 60 и 48 содержат 3, но только 2 присутствует во всех трёх числах.

Для НОД берём минимальную степень двойки, которая есть у всех чисел — это \(2^2\). Множители 3 и 5 не входят в НОД, так как отсутствуют у всех трёх чисел одновременно. Значит, \(НОД(60; 80; 48) = 2^2 = 4\).

Это показывает, что при работе с несколькими числами необходимо найти общие простые множители во всех числах и брать минимальную степень каждого из них.

г) Рассмотрим числа 195, 156 и 260. Разложим каждое на простые множители:
195 = \(3 \cdot 5 \cdot 13\),
156 = \(2^2 \cdot 3 \cdot 13\),
260 = \(2^2 \cdot 5 \cdot 13\).

Общие множители среди всех трёх чисел — это только 13, так как 3 и 5 отсутствуют в одном из чисел, а 2 отсутствует в 195. Поэтому НОД будет равен \(13\).

Этот пример иллюстрирует, что если у трёх чисел нет множителей, общих всем одновременно, кроме одного, то НОД равен произведению только этих общих множителей. В данном случае это простое число 13.