ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 164 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Сколькими способами в девятиместном микроавтобусе могут разместиться 9 пассажиров? Сколькими способами могут разместиться пассажиры, если один из них, хорошо знающий маршрут, сядет рядом с водителем?

1) В микроавтобусе могут разместиться 9 пассажиров:

— на первом месте один из девяти пассажиров – 9 вариантов;
— на втором месте один из восьми пассажиров – 8 вариантов;
— на третьем месте – 7 вариантов;
— на четвертом месте – 6 вариантов;
— на пятом месте – 5 вариантов;
— на шестом месте – 4 варианта;
— на седьмом месте – 3 варианта;
— на восьмом месте – 2 варианта;
— на девятом месте – 1 вариант.

Итого: \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362\,880\) вариантов – размещения.

2) Если один из 9 пассажиров сядет рядом с водителем, то:

— один из пассажиров с водителем – 1 вариант;
— на втором месте один из восьми пассажиров – 8 вариантов;
— на третьем месте – 7 вариантов;
— на четвертом месте – 6 вариантов;
— на пятом месте – 5 вариантов;
— на шестом месте – 4 варианта;
— на седьмом месте – 3 варианта;
— на восьмом месте – 2 варианта;
— на девятом месте – 1 вариант.

Итого: \(1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40\,320\) вариантов – размещения.

Ответ: \(362\,880\) вариантов; \(40\,320\) вариантов.

1) В микроавтобусе есть 9 мест, и каждый из 9 пассажиров может занять любое место. Для первого места мы можем выбрать любого из 9 пассажиров, значит вариантов 9. После того как первое место занято, остается 8 пассажиров на выбор для второго места, значит вариантов 8. Аналогично для третьего места остается 7 пассажиров, для четвертого – 6, и так далее, пока для девятого места остается только 1 пассажир. Таким образом, количество способов разместить 9 пассажиров на 9 местах равно произведению всех этих вариантов: \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\). Это произведение известно как факториал числа 9 и обозначается как \(9!\).

Вычислим это произведение по частям. Сначала умножаем первые четыре числа: \(9 \cdot 8 = 72\), \(72 \cdot 7 = 504\), \(504 \cdot 6 = 3024\). Затем умножаем оставшиеся числа: \(5 \cdot 4 = 20\), \(20 \cdot 3 = 60\), \(60 \cdot 2 = 120\), и наконец \(120 \cdot 1 = 120\). Теперь перемножаем полученные результаты: \(3024 \cdot 120 = 362\,880\). Значит всего существует \(362\,880\) различных способов посадить 9 пассажиров на 9 мест.

2) Если один из пассажиров обязательно должен сидеть рядом с водителем, то для первого места, где сидит водитель с пассажиром, выбирается только 1 вариант – этот пассажир уже определён. Для второго места остаётся 8 пассажиров, для третьего – 7, и так далее, аналогично первому случаю. Тогда количество вариантов размещения будет равно произведению: \(1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\). Считаем это произведение.

Умножаем по частям: \(8 \cdot 7 = 56\), \(56 \cdot 6 = 336\), \(336 \cdot 5 = 1680\), \(1680 \cdot 4 = 6720\), \(6720 \cdot 3 = 20160\), \(20160 \cdot 2 = 40320\), и умножаем на 1 в начале и в конце, что не меняет результат. Таким образом, всего существует \(40\,320\) вариантов размещения пассажиров, если один из них обязательно сидит рядом с водителем.

Таким образом, при отсутствии ограничений количество вариантов посадки равно \(362\,880\), а при условии, что один пассажир сидит рядом с водителем, количество вариантов уменьшится до \(40\,320\). Это связано с тем, что фиксирование одного пассажира на определённом месте уменьшает число вариантов для остальных пассажиров, так как они распределяются по оставшимся местам.