ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 163 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?

Четыре простых числа, произведение двух из них чтобы равнялось произведению двух других найти нельзя, так как произведение двух простых чисел — это составное число, а составное число можно разложить на простые множители единственным способом.

Рассмотрим четыре простых числа, обозначим их как \( p, q, r, s \). Простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Если мы возьмем произведение двух простых чисел, например, \( p \cdot q \), то результатом будет составное число, так как у него будут делители, отличные от 1 и самого произведения. Это число можно разложить на простые множители, и в данном случае разложение будет именно \( p \) и \( q \).

Теперь предположим, что существует равенство произведений двух пар простых чисел: \( p \cdot q = r \cdot s \). Если все четыре числа различны, то это равенство означает, что составное число \( p \cdot q \) раскладывается на простые множители двумя разными способами: \( p, q \) и \( r, s \). Однако, по основной теореме арифметики, любое составное число имеет единственное разложение на простые множители с точностью до порядка множителей. Следовательно, невозможно, чтобы произведение двух простых чисел было равно произведению двух других простых чисел, если множители не совпадают.

Таким образом, если четыре простых числа все разные, то произведение двух из них не может быть равно произведению двух других. Это объясняется тем, что простые множители в разложении составного числа однозначны, и любое равенство произведений двух пар простых чисел возможно только в случае совпадения множителей, например \( p = r \) и \( q = s \) или \( p = s \) и \( q = r \). Если же множители различны, то равенство не выполняется.