ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 153 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Являются ли взаимно простыми числа:
а) 35 и 40;
б) 77 и 20;
в) 10, 30, 41;
г) 231 и 280?

а) Числа 35 и 40 не взаимно простые, так как
\(35 = 5 \cdot 7\);
\(40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\).
\( \text{НОД}(35; 40) = 5 \neq 1\).

б) Числа 77 и 20 взаимно простые, так как
\(77 = 7 \cdot 11\);
\(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\).
\( \text{НОД}(77; 20) = 1\).

в) Числа 10, 30, 41 взаимно простые, так как
\(10 = 2 \cdot 5\);
\(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\);
\(41\) — простое число.
\( \text{НОД}(10; 30; 41) = 1\).

г) Числа 231 и 280 не взаимно простые, так как
\(231 = 3 \cdot 7 \cdot 11\);
\(280 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7\).
\( \text{НОД}(231; 280) = 7 \neq 1\).

а) Чтобы определить, являются ли числа 35 и 40 взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Для этого сначала раскладываем числа на простые множители. Число 35 раскладывается как \(35 = 5 \cdot 7\), то есть оно состоит из простых множителей 5 и 7. Число 40 раскладывается как \(40 = 2^{3} \cdot 5\), то есть оно состоит из трёх двоек и пятёрки. Теперь смотрим, есть ли у них общие простые множители. Видно, что у обоих есть множитель 5. Значит, НОД этих чисел равен 5, то есть \( \text{НОД}(35; 40) = 5\). Поскольку НОД не равен 1, числа не являются взаимно простыми.

б) Рассмотрим числа 77 и 20. Для проверки взаимной простоты также раскладываем их на простые множители. Число 77 раскладывается как \(77 = 7 \cdot 11\), то есть оно состоит из простых чисел 7 и 11. Число 20 раскладывается как \(20 = 2^{2} \cdot 5\), то есть из двоек и пятёрки. Теперь сравним множители: у 77 есть 7 и 11, а у 20 — 2 и 5. Общих множителей нет, следовательно, НОД равен 1: \( \text{НОД}(77; 20) = 1\). Это означает, что числа 77 и 20 взаимно простые.

в) Рассмотрим три числа: 10, 30 и 41. Сначала раскладываем каждое на простые множители: \(10 = 2 \cdot 5\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), а 41 — это простое число, то есть оно не раскладывается на другие множители кроме самого себя и единицы. Теперь нужно найти общий делитель для всех трёх чисел. У первых двух чисел есть множители 2 и 5, но у 41 нет ни одного из этих множителей. Поскольку 41 простое и не делится на 2 или 5, общий делитель всех трёх чисел равен 1: \( \text{НОД}(10; 30; 41) = 1\). Это значит, что эти числа взаимно простые.

г) Рассмотрим числа 231 и 280. Разложим их на простые множители: \(231 = 3 \cdot 7 \cdot 11\), а \(280 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 7\). Теперь определим общие множители. Видно, что у обоих чисел есть множитель 7. Значит, наибольший общий делитель равен 7: \( \text{НОД}(231; 280) = 7\). Поскольку НОД больше 1, числа 231 и 280 не являются взаимно простыми. Это означает, что у них есть общий делитель, отличный от 1, и они имеют общие простые множители.