ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 131 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Существует ли прямоугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом?

Прямоугольника, стороны которого натуральные числа, а периметр – простое число, не существует, так как формула периметра следующая: \(2 \cdot (a + b)\), а значит, периметр будет иметь более двух делителей – составное число.

Периметр прямоугольника с натуральными сторонами \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле \(P = 2 \cdot (a + b)\). Здесь \(a\) и \(b\) — натуральные числа, то есть положительные целые числа. При этом сумма \(a + b\) также будет натуральным числом, так как сумма двух натуральных чисел всегда натуральна. Значит, периметр \(P\) всегда равен удвоенной натуральной сумме.

Для того чтобы периметр был простым числом, он должен иметь ровно два делителя: единицу и само это число. Однако, поскольку \(P = 2 \cdot (a + b)\), периметр обязательно делится на 2. Это значит, что у числа \(P\) как минимум три делителя: 1, 2 и само число \(P\), если \(a + b > 1\). Если \(a + b = 1\), то одна из сторон равна 0, что невозможно, так как стороны должны быть натуральными.

Таким образом, периметр прямоугольника с натуральными сторонами не может быть простым числом, потому что он всегда будет чётным и больше 2, а все чётные числа, кроме 2, являются составными. Следовательно, прямоугольника с натуральными сторонами и простым периметром не существует.