ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 13 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Докажите, что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из множителей.

Пусть даны два натуральных числа \(x\) и \(y\).

Докажем, что \((x \cdot y) : x\) и \((x \cdot y) : y\).

\((x \cdot y) : x = \frac{x \cdot y}{x} = y\) — произведение кратно множителю;

\((x \cdot y) : y = \frac{x \cdot y}{y} = x\) — произведение кратно множителю.

Что и требовалось доказать.

Пусть заданы два натуральных числа \(x\) и \(y\). Требуется доказать, что произведение этих чисел делится на каждый из множителей, то есть \((x \cdot y) : x\) и \((x \cdot y) : y\) дают целые числа.

Рассмотрим сначала деление произведения \(x \cdot y\) на первый множитель \(x\). Выражение \((x \cdot y) : x\) означает, что мы делим произведение двух натуральных чисел на один из них. Запишем это в виде дроби: \(\frac{x \cdot y}{x}\). По свойству умножения и деления, если знаменатель не равен нулю (а \(x\) натуральное число, значит, \(x \neq 0\)), то можно сократить множитель \(x\) в числителе и знаменателе. Получаем: \(\frac{x \cdot y}{x} = y\). Это означает, что результат деления произведения на множитель равен другому множителю, который также является натуральным числом.

Аналогично рассмотрим деление произведения \(x \cdot y\) на второй множитель \(y\). Выражение \((x \cdot y) : y\) также записывается в виде дроби: \(\frac{x \cdot y}{y}\). Здесь по тем же правилам сокращаем множитель \(y\) в числителе и знаменателе, получаем: \(\frac{x \cdot y}{y} = x\). Таким образом, деление произведения на второй множитель приводит к первому множителю, который также натуральное число.

Следовательно, оба выражения \((x \cdot y) : x\) и \((x \cdot y) : y\) всегда дают целые натуральные числа, что доказывает, что произведение двух натуральных чисел всегда делится на каждый из множителей без остатка, а результатом деления является второй множитель. Что и требовалось доказать.