ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 128 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Выясните, делится ли число \(a\) на число \(b\) без остатка, если:
а) \(a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\), \(b = 2 \cdot 3 \cdot 7\);
б) \(a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11\), \(b = 3 \cdot 3 \cdot 5\);
в) \(a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13\), \(b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13\);
г) \(a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\), \(b = 21\);
д) \(a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\), \(b = 135\);
е) \(a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\), \(b = 1000\).

В случае, когда \(a\) делится на \(b\), найдите частное.

а) \(a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\) и \(b = 2 \cdot 3 \cdot 7\);
\(a\) делится на \(b\) без остатка, так как число \(b\) состоит из множителей, которые есть в числе \(a\);
\(\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot 7} = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20.\)

б) \(a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11\) и \(b = 3 \cdot 3 \cdot 5\);
\(a\) делится на \(b\) без остатка, так как число \(b\) состоит из множителей, которые есть в числе \(a\);
\(\frac{a}{b} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11}{3 \cdot 3 \cdot 5} = 5 \cdot 11 = 55.\)

в) \(a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13\) и \(b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13\);
\(a\) не делится на \(b\) без остатка, так как в числе \(b\) присутствует множитель 5, которого нет в числе \(a\).

г) \(a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7\) и \(b = 21 = 3 \cdot 7\);
\(a\) делится на \(b\) без остатка, так как число \(b\) состоит из множителей, которые есть в числе \(a\);
\(\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7}{3 \cdot 7} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42.\)

д) \(a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\) и \(b = 135 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\);
\(a\) делится на \(b\) без остатка, так как число \(b\) состоит из множителей, которые есть в числе \(a\);
\(\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28.\)

е) \(a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\) и \(b = 1000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\);
\(a\) не делится на \(b\) без остатка, так как в числе \(b\) присутствует множитель 5, которого нет в числе \(a\).

а) Рассмотрим числа \(a\) и \(b\), где \(a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\) и \(b = 2 \cdot 3 \cdot 7\). Чтобы проверить, делится ли \(a\) на \(b\) без остатка, нужно убедиться, что все простые множители числа \(b\) входят в разложение числа \(a\) с не меньшими степенями. В данном случае \(b\) состоит из множителей 2, 3 и 7, которые присутствуют в \(a\).

Поделим \(a\) на \(b\):
\(\frac{a}{b} = \frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot 7} = 2^{3-1} \cdot 3^{1-1} \cdot 5 \cdot 7^{1-1} = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20.\)
Так как результат деления — целое число, значит, \(a\) делится на \(b\) без остатка.

б) Пусть \(a = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11\) и \(b = 3^2 \cdot 5\). Аналогично проверяем наличие множителей \(b\) в \(a\). Множители 3 и 5 присутствуют в \(a\) с достаточными степенями.

Выполним деление:
\(\frac{a}{b} = \frac{3^2 \cdot 5^2 \cdot 11}{3^2 \cdot 5} = 5^{2-1} \cdot 11 = 5 \cdot 11 = 55.\)
Результат — целое число, значит, деление без остатка.

в) Рассмотрим \(a = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13\) и \(b = 3 \cdot 5^2 \cdot 13\). Здесь множитель 5 во второй степени присутствует в \(b\), но в \(a\) только один множитель 5. Это означает, что \(a\) не содержит всех множителей \(b\) с необходимыми степенями.

Поскольку множитель \(5^2\) отсутствует в \(a\), деление \(a\) на \(b\) не будет целым числом, то есть \(a\) не делится на \(b\) без остатка.

г) Пусть \(a = 2 \cdot 3^2 \cdot 7^2\) и \(b = 3 \cdot 7 = 21\). Проверяем, входят ли множители \(b\) в \(a\). Множители 3 и 7 есть в \(a\) с большими степенями, чем в \(b\).

Выполним деление:
\(\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 3^2 \cdot 7^2}{3 \cdot 7} = 2 \cdot 3^{2-1} \cdot 7^{2-1} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42.\)
Результат — целое число, значит, \(a\) делится на \(b\) без остатка.

д) Рассмотрим \(a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7\) и \(b = 3^3 \cdot 5 \cdot 3 = 135\) (так как \(135 = 3^3 \cdot 5\)). Проверяем множители \(b\) в \(a\). Все множители \(b\) содержатся в \(a\) с равными или большими степенями.

Деление:
\(\frac{a}{b} = \frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7}{3^3 \cdot 5} = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28.\)
Так как результат — целое число, деление без остатка.

е) Пусть \(a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2\) и \(b = 2^3 \cdot 5^3\) (так как \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\)). В \(b\) есть множитель \(5^3\), а в \(a\) только \(5^2\).

Из-за недостаточной степени множителя 5 в \(a\) деление на \(b\) будет с остатком, то есть \(a\) не делится на \(b\) без остатка.