ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Вопросы на повторение В.5 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Приведите примеры:
а) натуральных чисел;
б) целых чисел;
в) положительных чисел, не являющихся натуральными;
г) отрицательных чисел, не являющихся целыми;
д) рациональных чисел, не являющихся целыми;
е) двух взаимно обратных чисел;
ж) двух противоположных чисел;
з) двух чисел, произведение которых равно 0; 1;
и) двух целых чисел, сумма которых равна 0; 1.

а) Натуральные числа — это числа, которые используются для счета: \(1, 2, 3, 4, 5\).
б) Целые числа — это все натуральные, их отрицательные и ноль: \(-2, -1, 0, 1, 2\).
в) Положительные числа, не являющиеся натуральными — это положительные дробные или иррациональные числа: \(0{,}5; \frac{3}{2}; \sqrt{2}\).
г) Отрицательные числа, не являющиеся целыми — это отрицательные дробные или иррациональные числа: \(-\frac{1}{2}; -2{,}3; -\sqrt{3}\).
д) Рациональные числа, не являющиеся целыми — это дроби, не упрощающиеся до целого: \(\frac{3}{4}; -\frac{7}{5}\).
е) Два взаимно обратных числа — это числа, произведение которых равно 1: \(2\) и \(\frac{1}{2}\).
ж) Два противоположных числа — это числа с одинаковой величиной, но разным знаком: \(5\) и \(-5\).
з) Два числа, произведение которых равно 0: \(0\) и \(7\); произведение равно 1: \(1\) и \(1\).
и) Два целых числа, сумма которых равна 0: \(3\) и \(-3\); сумма равна 1: \(2\) и \(-1\).

а) Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов и обозначают количество. Они начинаются с единицы и продолжаются бесконечно: \(1, 2, 3, 4, 5\) и так далее. Натуральные числа не включают ноль, дробные или отрицательные числа, так как они предназначены именно для подсчёта целых объектов. Например, если у вас есть три яблока, то количество яблок можно выразить натуральным числом \(3\).

Натуральные числа обладают свойствами, которые делают их основой арифметики: они положительны и упорядочены, то есть каждое следующее число больше предыдущего на единицу. Это позволяет выполнять операции сложения и умножения без выхода за пределы множества натуральных чисел, например, \(2 + 3 = 5\), где все числа — натуральные.

Использование натуральных чисел ограничено ситуациями, где важно считать целые объекты или шаги, например, количество студентов в классе, количество страниц в книге, количество дней в месяце. Они служат фундаментом для построения других числовых систем.

б) Целые числа включают в себя не только натуральные числа, но и их отрицательные аналоги, а также число ноль. Множество целых чисел записывается как \(\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\). Оно расширяет понятие счета, позволяя учитывать направления или балансы, например, долг или переплату.

Отрицательные целые числа важны в различных контекстах: температура ниже нуля, движение назад, убытки. Ноль — это особое число, которое обозначает отсутствие количества и служит разделителем между положительными и отрицательными числами. Например, температура \( -5 \) градусов ниже нуля — это целое число.

Целые числа замкнуты относительно операций сложения, вычитания и умножения, то есть результат этих операций с целыми числами также будет целым числом. Например, \( -2 + 3 = 1 \), \( 4 \times (-1) = -4 \) — все результаты принадлежат множеству целых чисел.

в) Положительные числа, не являющиеся натуральными, — это числа больше нуля, которые не являются целыми, то есть дробные или иррациональные числа. Примеры: \(0{,}5\), \(\frac{3}{2}\), \(\sqrt{2}\). Они используются для измерения величин, которые нельзя выразить целым числом, например, длина, масса, время.

Дробные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) — целые числа, а \(b \neq 0\). Например, \(\frac{3}{2} = 1{,}5\) — положительное число, не являющееся натуральным, так как оно не целое.

Иррациональные числа, такие как \(\sqrt{2}\), не могут быть выражены в виде простой дроби и имеют бесконечное непериодическое десятичное представление. Они тоже положительные, если больше нуля, но не натуральные. Например, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\).

г) Отрицательные числа, не являющиеся целыми, — это числа меньше нуля, которые не являются целыми, то есть дробные или иррациональные числа. Примеры: \(-\frac{1}{2}\), \(-2{,}3\), \(-\sqrt{3}\). Они применяются, когда нужно выразить отрицательные значения с дробной частью.

Дробные отрицательные числа — это числа вида \(-\frac{a}{b}\), где \(a, b\) — натуральные числа, \(b \neq 0\). Например, \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\) — число меньше нуля, не целое.

Отрицательные иррациональные числа — это отрицательные числа с бесконечным непериодическим десятичным представлением, например, \(-\sqrt{3} \approx -1{,}732\). Они не целые, но принадлежат множеству действительных чисел.

д) Рациональные числа, не являющиеся целыми, — это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) — целые числа, \(b \neq 0\), и при этом дробь не сокращается до целого числа. Примеры: \(\frac{3}{4}\), \(-\frac{7}{5}\).

Такие числа имеют конечное или периодическое десятичное представление. Например, \(\frac{3}{4} = 0{,}75\), а \(-\frac{7}{5} = -1{,}4\). Они отличаются от целых чисел тем, что содержат дробную часть.

Рациональные числа широко используются в повседневной жизни для измерения и деления на части: длина, вес, время, деньги. Они формируют множество, которое включает целые числа, но также и дробные значения.

е) Два взаимно обратных числа — это пара чисел, произведение которых равно 1. Если одно из них — \(a\), то другое — \(\frac{1}{a}\), при условии \(a \neq 0\). Например, \(2\) и \(\frac{1}{2}\).

Взаимно обратные числа важны в алгебре и математике, так как умножение одного на другое возвращает нейтральный элемент умножения — единицу: \(2 \times \frac{1}{2} = 1\).

Это свойство используется для решения уравнений и нахождения обратных элементов в различных числовых системах.

ж) Два противоположных числа — это числа с одинаковой величиной, но разными знаками. Если одно число — \(a\), то противоположное ему — \(-a\). Например, \(5\) и \(-5\).

Противоположные числа при сложении дают ноль: \(5 + (-5) = 0\). Это свойство отражает симметрию числовой оси относительно нуля.

Они используются для обозначения направлений, балансов и компенсаций в различных областях математики и физики.

з) Два числа, произведение которых равно 0, — это такие числа, что хотя бы одно из них равно нулю. Например, \(0\) и \(7\), так как \(0 \times 7 = 0\).

Произведение равно 1 — это два взаимно обратных числа, например, \(1\) и \(1\), так как \(1 \times 1 = 1\).

Произведение чисел показывает, как они взаимодействуют при умножении, и наличие нуля в произведении означает, что один из множителей обязательно равен нулю.

и) Два целых числа, сумма которых равна 0, — это противоположные числа, например, \(3\) и \(-3\), так как \(3 + (-3) = 0\).

Сумма равна 1 — это пара целых чисел, например, \(2\) и \(-1\), так как \(2 + (-1) = 1\).

Сумма чисел отражает их совместное значение, и подбор таких чисел часто используется для решения уравнений и задач на баланс.