ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Вопросы на повторение В.13 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Могут ли значения выражений \(-r\); \(-\frac{x}{y}\); \(|h|\); \(v — r\) быть:
а) положительными;
б) отрицательными;
в) нулём?

а)
\(-r > 0\) при \(r < 0\); \(\frac{-r}{v} > 0\) при \(r < 0\) и \(v > 0\) или \(r > 0\) и \(v < 0\); \(|r| > 0\) при \(r > 0\) или \(r < 0\); \(v — r > 0\) при \(v > r\) или \(v > 0\) и \(r < 0\).

б)
\(-r < 0\) при \(r > 0\);
\(\frac{-r}{v} < 0\) при \(r > 0\) и \(v > 0\) или \(r < 0\) и \(v < 0\);
\(|r| < 0\) — нет таких \(r\);
\(v — r < 0\) при \(v < r\) или \(v < 0\) и \(r > 0\).

в)
\(-r = 0\) при \(r = 0\);
\(\frac{-r}{v} = 0\) при \(r = 0\) и \(v \neq 0\);
\(|r| = 0\) при \(r = 0\);
\(v — r = 0\) при \(v = r\).

а) Рассмотрим неравенство \(-r > 0\). Чтобы оно выполнялось, число \(r\) должно быть отрицательным, потому что минус от отрицательного числа становится положительным. Значит, условие \(-r > 0\) эквивалентно \(r < 0\). Далее, рассмотрим выражение \(\frac{-r}{v} > 0\). Для того чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Числитель \(-r\) положителен, если \(r < 0\), тогда знаменатель \(v\) должен быть положительным, то есть \(v > 0\). Либо числитель отрицателен, если \(r > 0\), тогда знаменатель должен быть отрицательным, то есть \(v < 0\). Таким образом, условие \(\frac{-r}{v} > 0\) выполняется при \(r < 0\) и \(v > 0\) или при \(r > 0\) и \(v < 0\). Модуль числа \(|r|\) всегда положителен, кроме случая \(r = 0\). Следовательно, условие \(|r| > 0\) выполняется при \(r > 0\) или \(r < 0\), то есть для всех ненулевых значений \(r\). Наконец, разность \(v — r > 0\) означает, что \(v\) больше \(r\). Это возможно либо когда \(v > r\) при любых знаках, либо когда \(v > 0\) и \(r < 0\), что гарантирует положительную разность.

б) Рассмотрим неравенство \(-r < 0\). Чтобы оно было верным, число \(r\) должно быть положительным, так как отрицание положительного числа будет отрицательным, а нам нужно строго меньше нуля, значит \(r > 0\).

Для выражения \(\frac{-r}{v} < 0\) дробь должна быть отрицательной, то есть числитель и знаменатель имеют разные знаки. Если \(r > 0\), тогда \(-r < 0\), знаменатель \(v\) должен быть положительным, чтобы дробь была отрицательной, либо если \(r < 0\), то \(-r > 0\), тогда \(v < 0\). Иными словами, условие \(\frac{-r}{v} < 0\) выполняется при \(r > 0\) и \(v > 0\) или при \(r < 0\) и \(v < 0\).

Модуль \(|r|\) не может быть меньше нуля, так как по определению модуль — неотрицательное число. Следовательно, условие \(|r| < 0\) не имеет решений, то есть таких \(r\) не существует, и множество решений пусто \(\emptyset\). Разность \(v — r < 0\) означает, что \(v\) меньше \(r\). Это возможно либо когда \(v < r\) при любых знаках, либо когда \(v < 0\) и \(r > 0\), что гарантирует отрицательную разность.

в) Рассмотрим равенство \(-r = 0\). Оно верно только в случае, когда \(r = 0\), так как только ноль при умножении на минус остается нулём.

Дробь \(\frac{-r}{v} = 0\) равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, \(r = 0\) и \(v \neq 0\).

Модуль \(|r| = 0\) также равен нулю только при \(r = 0\), поскольку модуль — это расстояние до нуля на числовой оси, и только в нуле это расстояние равно нулю. Разность \(v — r = 0\) равна нулю тогда и только тогда, когда \(v = r\), то есть они равны.