ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Вопросы на повторение В.1 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Что такое система счисления? Почему используемую нами систему счисления называют позиционной и десятичной?

Система счисления – это символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Используемую нами систему счисления называют позиционной, потому что значение цифры зависит от того, какое место в записи числа она занимает, а точнее, в каком разряде она находится.

А десятичной – потому что для записи любого натурального числа применяют десять цифр, от 0 до 9.

Система счисления представляет собой способ записи чисел с помощью символов, которые называются цифрами или знаками. Эти знаки служат для отображения количественных значений и позволяют человеку фиксировать и передавать числовую информацию. Важно понимать, что система счисления — это не просто набор цифр, а именно метод, который определяет правила записи и чтения чисел. Например, в десятичной системе используются десять символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а в двоичной — только два символа: 0 и 1.

Позиционная система счисления — это разновидность системы, в которой значение каждой цифры зависит от её положения (разряда) в числе. Это значит, что одна и та же цифра может означать разные значения в зависимости от того, где она стоит. Например, в числе 345 цифра 5 находится в разряде единиц, цифра 4 — в разряде десятков, а цифра 3 — в разряде сотен. В общем виде число в позиционной системе можно записать как сумму произведений цифр на основание системы в степени, соответствующей их позиции: \( a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0 = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + \ldots + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 \), где \( b \) — основание системы счисления, а \( a_i \) — цифры числа.

Десятичная система счисления получила своё название потому, что в ней используется десять различных цифр — от 0 до 9. Это основание системы равно 10, что связано с исторической и биологической причиной: у человека десять пальцев на руках, что делало удобным счёт именно по десяти. В десятичной системе каждая позиция в числе соответствует степени десяти: единицы — \( 10^0 \), десятки — \( 10^1 \), сотни — \( 10^2 \) и так далее. Например, число 237 можно представить как \( 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 7 \times 10^0 \), что равно 200 + 30 + 7. Такая система удобна для повседневных вычислений и широко используется во всех сферах жизни.