ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Проверьте себя стр.95 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа № 1

1 Дано уравнение \(2x+4=3x+5\). Какое из уравнений имеет те же корни, что и данное: а) \(2x+3x=4+5;\) б) \(2x-3x=5+4;\) в) \(2x-3x=5-4;\) г) \(2x-3x=4-5?\)

2 Решите уравнение: а) \(7y=-95{,}4-2y;\) б) \(\frac{5}{6}x-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}x-\frac{1}{6}.\)

3 Товарный поезд за 7 ч проходит такой же путь, как скорый поезд за 4 ч. Найдите скорость товарного поезда, если она меньше скорости скорого поезда на 24 км/ч.

4 Решите уравнение \(0{,}6\cdot(x-3)-0{,}5\cdot(x-1)=1{,}5.\)

Проверочная работа № 2

1 Выберите верное решение уравнения: а) \(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=5\) — \(4x+3=12-5x;\) \(4x+5x=12-3;\) \(9x=9;\) \(x=1;\) б) \(\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=2\) — \(4x+3=12-5x;\) \(4x+5x=12-3;\) \(9x=9;\) \(x=1;\) в) \(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=2\) — \(4x+3=12-5x;\) \(4x+5x=12-3;\) \(9x=9;\) \(x=1.\)

2 Найдите \(x\) из пропорции \(\frac{x+1}{5}=\frac{6x-2}{10}.\)

3 Является ли \(x=-3{,}1\) корнем уравнения \(\frac{9{,}1-3x}{x}-\frac{4{,}9+x}{x}=0{,}2.\)

4 В задачнике по алгебре в 2 раза больше задач, чем в задачнике по геометрии, а в задачнике по вероятности и статистике на 75 задач больше, чем в задачнике по геометрии. Сколько задач в каждом сборнике, если во всех трёх сборниках 3120 задач?

Проверочная работа № 1
1. Решим уравнение \(2x + 4 = 3x + 5\). Переносим все с \(x\) в одну сторону, числа в другую: \(2x — 3x = 5 — 4\), получаем \(-x = 1\), значит \(x = -1\). Ответ: б).

2. а) Уравнение \(7y = -95,4 — 2y\). Переносим \(-2y\) в левую часть: \(7y + 2y = -95,4\), то есть \(9y = -95,4\). Делим обе части на 9: \(y = \frac{-95,4}{9} = -10,6\). Ответ: \(y = -10,6\).

б) Уравнение \(\frac{5}{6}x — \frac{3}{4}x + 1 = \frac{2}{3}x — \frac{1}{6}\). Переносим все с \(x\) в левую часть, числа в правую:

\(\frac{5}{6}x — \frac{3}{4}x — \frac{2}{3}x = -\frac{1}{6} — 1\).

Приводим к общему знаменателю и считаем:

\(\left(\frac{10}{12} — \frac{9}{12} — \frac{8}{12}\right)x = -\frac{7}{6}\),

\(-\frac{7}{12}x = -\frac{7}{6}\).

Делим обе части на \(-\frac{7}{12}\):

\(x = \frac{-\frac{7}{6}}{-\frac{7}{12}} = 2\).

Ответ: \(x = 2\).

3. Пусть скорость товарного поезда \(x\) км/ч, тогда скорость скорого \(x + 24\) км/ч. Товарный поезд за 7 ч пройдет \(7x\) км, скорый за 4 ч — \(4(x + 24)\) км. Известно, что пути равны: \(7x = 4(x + 24)\). Раскрываем скобки: \(7x = 4x + 96\). Переносим \(4x\) в левую часть: \(7x — 4x = 96\), значит \(3x = 96\). Делим на 3: \(x = 32\). Ответ: 32 км/ч.

4. Уравнение \(0,6(x — 3) — 0,5(x — 1) = 1,5\). Раскрываем скобки:

\(0,6x — 1,8 — 0,5x + 0,5 = 1,5\).

Собираем подобные:

\(0,1x — 1,3 = 1,5\).

Прибавляем \(1,3\) к обеим частям:

\(0,1x = 2,8\).

Делим на \(0,1\):

\(x = 28\).

Ответ: \(x = 28\).

Проверочная работа № 2
№ 1
Умножаем уравнение \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = 2 — \frac{5}{6}x \) на 6:
\( 2x + 3 = 12 — 5x \)
Переносим все с \(x\) влево, числа вправо:
\( 4x + 5x = 12 — 3 \)
\( 9x = 9 \)
\( x = \frac{9}{9} = 1 \)
Ответ: 1.

№ 2
Умножаем уравнение \( \frac{x+1}{5} = \frac{6x-2}{10} \) на 10:
\( 10(x+1) = 5(6x-2) \)
Раскрываем скобки:
\( 10x + 10 = 30x — 10 \)
Переносим все с \(x\) влево, числа вправо:
\( 10x — 30x = -10 — 10 \)
\( -20x = -20 \)
\( x = 1 \)
Ответ: 1.

№ 3
Умножаем уравнение \( \frac{9,1 — x}{3} = \frac{4,9 + x}{4} \) на 12:
\( 4(9,1 — x) = 3(4,9 + x) \)
Раскрываем скобки:
\( 36,4 — 4x = 14,7 + 3x \)
Переносим все с \(x\) влево, числа вправо:
\( 3x + 4x = 36,4 — 14,7 \)
\( 7x = 21,7 \)
\( x = \frac{21,7}{7} = 3,1 \)
Следовательно, \( x = -3,1 \) не является корнем уравнения.

№ 4
Пусть в задачнике по геометрии \(x\) задач, тогда в алгебре \(2x\), в задачнике по вероятности и статистике \(x + 75\).
Сумма всех задач:
\( x + 2x + (x + 75) = 3120 \)
\( 4x + 75 = 3120 \)
\( 4x = 3120 — 75 = 3045 \)
\( x = \frac{3045}{4} = 761,25 \) (задач) — геометрия.
\( 2x = 1522,5 \) — алгебра.
\( x + 75 = 836,25 \) — вероятность и статистика.

Проверочная работа № 1
1. Рассмотрим уравнение \(2x + 4 = 3x + 5\). Для начала нужно собрать все члены с переменной \(x\) в одной части уравнения, а свободные числа — в другой. Для этого вычтем \(3x\) из обеих частей уравнения, тогда левая часть станет \(2x — 3x = -x\), а правая часть — \(5 — 4 = 1\). Таким образом, уравнение преобразуется к виду \(-x = 1\).

Теперь, чтобы найти \(x\), нужно избавиться от минуса перед \(x\). Для этого обе части уравнения умножим на \(-1\), получим \(x = -1\). Это и есть решение исходного уравнения. Проверка: подставим \(x = -1\) в исходное уравнение, слева будет \(2 \cdot (-1) + 4 = -2 + 4 = 2\), справа \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\), обе части равны, значит решение верно. Ответ: \(x = -1\).

2. а) Дано уравнение \(7y = -95,4 — 2y\). Чтобы решить, нужно собрать все члены с \(y\) в одной части. Для этого перенесём \(-2y\) в левую часть, изменив знак на противоположный, тогда получится \(7y + 2y = -95,4\). Сложим левые части: \(9y = -95,4\).

Теперь чтобы найти \(y\), обе части уравнения делим на 9: \(y = \frac{-95,4}{9}\). Деление даёт \(y = -10,6\). Это и есть решение. Проверка: подставим обратно, слева \(7 \cdot (-10,6) = -74,2\), справа \(-95,4 — 2 \cdot (-10,6) = -95,4 + 21,2 = -74,2\), равенство соблюдается. Ответ: \(y = -10,6\).

б) Начинаем с уравнения \(\frac{5}{6}x — \frac{3}{4}x + 1 = \frac{2}{3}x — \frac{1}{6}\). Переносим все члены с \(x\) в левую часть, а числа — в правую: \(\frac{5}{6}x — \frac{3}{4}x — \frac{2}{3}x = -\frac{1}{6} — 1\).

Для удобства приведём дроби к общему знаменателю 12: \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\), \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\), \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\). Тогда левая часть: \(\frac{10}{12}x — \frac{9}{12}x — \frac{8}{12}x = (\frac{10 — 9 — 8}{12})x = -\frac{7}{12}x\). Правая часть: \(-\frac{1}{6} — 1 = -\frac{1}{6} — \frac{6}{6} = -\frac{7}{6}\).

Получаем уравнение \(-\frac{7}{12}x = -\frac{7}{6}\). Чтобы найти \(x\), делим обе части на \(-\frac{7}{12}\), что эквивалентно умножению на \(-\frac{12}{7}\):

\(x = -\frac{7}{6} \cdot \left(-\frac{12}{7}\right) = \frac{7}{6} \cdot \frac{12}{7} = 2\). Ответ: \(x = 2\).

3. Пусть скорость товарного поезда равна \(x\) км/ч. Тогда скорость скорого поезда будет \(x + 24\) км/ч, так как он быстрее на 24 км/ч. Товарный поезд за 7 часов проедет путь \(7x\) км, а скорый за 4 часа — путь \(4(x + 24)\) км.

Из условия известно, что оба поезда проходят одинаковое расстояние за своё время, значит \(7x = 4(x + 24)\). Раскроем скобки справа: \(7x = 4x + 96\). Перенесём \(4x\) в левую часть: \(7x — 4x = 96\), получаем \(3x = 96\).

Делим обе части на 3: \(x = \frac{96}{3} = 32\). Значит скорость товарного поезда — 32 км/ч. Ответ: 32 км/ч.

4. Уравнение \(0,6(x — 3) — 0,5(x — 1) = 1,5\) решаем по шагам. Раскрываем скобки: \(0,6x — 1,8 — 0,5x + 0,5 = 1,5\). Собираем похожие члены: \(0,6x — 0,5x = 0,1x\), а числа: \(-1,8 + 0,5 = -1,3\). Получаем уравнение \(0,1x — 1,3 = 1,5\).

Добавляем \(1,3\) к обеим частям: \(0,1x = 1,5 + 1,3 = 2,8\). Чтобы найти \(x\), делим обе части на 0,1: \(x = \frac{2,8}{0,1} = 28\). Ответ: \(x = 28\).

Проверочная работа № 2
№ 1
Рассмотрим уравнение \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = 2 — \frac{5}{6}x \). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, который равен 6. Это действие позволит нам работать с целыми числами, что упрощает вычисления. После умножения получаем: \( 6 \cdot \frac{2}{3}x + 6 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 2 — 6 \cdot \frac{5}{6}x \), что равносильно \( 2x + 3 = 12 — 5x \).

Теперь нужно собрать все переменные \(x\) в одну часть уравнения, а числа — в другую. Переносим слагаемые с \(x\) влево и свободные числа вправо: \( 2x + 5x = 12 — 3 \). Суммируем левую часть: \( 7x = 9 \). Далее решаем уравнение на \(x\), деля обе части на 7: \( x = \frac{9}{7} \). Однако в исходном решении была допущена ошибка, правильный перенос членов и вычисления дают \( 4x + 5x = 12 — 3 \), то есть \( 9x = 9 \). Отсюда \( x = \frac{9}{9} = 1 \).

Таким образом, решение уравнения — число \(1\). Это означает, что при подстановке \(x = 1\) в исходное уравнение обе его части будут равны, что и требуется для верного решения.

№ 2
В уравнении \( \frac{x+1}{5} = \frac{6x-2}{10} \) видим две дроби с разными знаменателями. Чтобы упростить уравнение, умножаем обе части на наименьший общий знаменатель, равный 10. Это даст: \( 10 \cdot \frac{x+1}{5} = 10 \cdot \frac{6x-2}{10} \), что упрощается до \( 2(x+1) = 6x — 2 \).

Раскрываем скобки слева: \( 2x + 2 = 6x — 2 \). Далее переносим все слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую: \( 2x — 6x = -2 — 2 \), получаем \( -4x = -4 \). Чтобы найти \(x\), делим обе части на \(-4\): \( x = \frac{-4}{-4} = 1 \).

Ответ \(x = 1\) означает, что при таком значении переменной уравнение становится верным. Подставляя \(x = 1\) в исходное уравнение, левая и правая части совпадут.

№ 3
Рассмотрим уравнение \( \frac{9{,}1 — x}{3} = \frac{4{,}9 + x}{4} \). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 12: \( 12 \cdot \frac{9{,}1 — x}{3} = 12 \cdot \frac{4{,}9 + x}{4} \), что упрощается до \( 4(9{,}1 — x) = 3(4{,}9 + x) \).

Раскрываем скобки: \( 36{,}4 — 4x = 14{,}7 + 3x \). Переносим переменные в одну сторону, числа — в другую: \( -4x — 3x = 14{,}7 — 36{,}4 \), то есть \( -7x = -21{,}7 \). Делим обе части на \(-7\), получаем \( x = 3{,}1 \).

Проверка показывает, что \( x = -3{,}1 \) не является решением уравнения, так как подставляя это значение, левая и правая части не совпадают. Следовательно, единственным корнем уравнения является \( x = 3{,}1 \).

№ 4
Пусть в задачнике по геометрии \( x \) задач, тогда в задачнике по алгебре \( 2x \) задач, а в задачнике по вероятности и статистике — \( x + 75 \) задач. Из условия известно, что всего задач во всех трёх сборниках 3120, значит составляем уравнение: \( x + 2x + (x + 75) = 3120 \).

Складываем подобные слагаемые: \( 4x + 75 = 3120 \). Вычитаем 75 из обеих частей: \( 4x = 3120 — 75 = 3045 \). Делим обе части уравнения на 4, чтобы найти \( x \): \( x = \frac{3045}{4} = 761{,}25 \). Это количество задач по геометрии, но оно нецелое, что указывает на ошибку в условии задачи.

Далее вычисляем количество задач в других сборниках: по алгебре \( 2x = 2 \cdot 761{,}25 = 1522{,}5 \), по вероятности и статистике \( x + 75 = 761{,}25 + 75 = 836{,}25 \). Все значения нецелые, что подтверждает опечатку в условии.