ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Проверьте себя стр.40 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа
1. Выберите вариант правильного ответа. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
а) сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «+»;
б) сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «-».

2. Чему равна сумма чисел:
а) \(-7,3\) и \(-7\);
б) \(-\frac{12}{13}\) и \(-1\);
в) \(-350,6\) и \(-150,4\)?

3. Найдите значение выражения \(-2 \frac{3}{7} + \left(-3 \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{14}\right)\).

4. а) Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых? Если да, приведите пример.
б) Может ли сумма двух чисел быть меньше \(-100\), если одно из слагаемых больше 100? Если да, приведите пример.
в) Запишите три отрицательных числа, сумма которых больше \(-1\).

№1
Сумма двух отрицательных чисел равна отрицательному числу с модулем, равным сумме модулей: складываем модули и ставим знак минус. Ответ: б).

№2
а) \(-7{,}3+(-7)=-(7{,}3+7)=-14{,}3\).
б) \(-\frac{12}{13}+(-1)=-(\frac{12}{13}+1)=-\frac{25}{13}\).
в) \(-350{,}6+(-150{,}4)=-(350{,}6+150{,}4)=-501\).

№3
\(-2\frac{3}{7}+(-3\frac{1}{2})+(-\frac{1}{14})=-(2\frac{3}{7}+3\frac{1}{2}+\frac{1}{14})\).
Приведём к знаменателю \(14\): \(2\frac{3}{7}=\frac{2\cdot14+6}{14}=\frac{34}{14}\), \(3\frac{1}{2}=\frac{3\cdot14+7}{14}=\frac{49}{14}\), \(\frac{1}{14}=\frac{1}{14}\).
Сумма: \(\frac{34+49+1}{14}=\frac{84}{14}=6\).
Итак, \(-6\).

№4
а) Если оба слагаемых отрицательные, их сумма меньше каждого из них: \(-7+(-3)=-10\), причём \(-7>-10\) и \(-3>-10\).

б) Сумма может быть меньше \(-100\), даже если одно слагаемое больше \(100\): \(150+(-500)=-350<-100\). в) Три отрицательных числа могут иметь сумму больше \(-1\): \(-0{,}01+(-0{,}001)+(-0{,}1)=-0{,}111>-1\).

№1
Когда складываем два отрицательных числа, каждое из них можно представить как число с минусом перед модулем: \(a=-|a|\), \(b=-|b|\). Тогда сумма \(a+b=-|a|+(-|b|)=-(|a|+|b|)\). То есть сначала вычисляем сумму модулей, затем ставим общий знак минус, так как складываем долги. Например, если долги \(7\) и \(3\) единицы, то общий долг \(10\): \(-7+(-3)=-(7+3)=-10\). Это правило и выбирается как верный ответ: б).

№2
а) Складываем отрицательные десятичные числа, объединив модули: \(-7{,}3+(-7)=-(7{,}3+7)\). Сумма модулей \(7{,}3+7=14{,}3\), значит результат \(-14{,}3\). Здесь важно понимать, что перенос минуса общий: мы не изменяем порядок сложения, а просто группируем модули под одним знаком минус.

б) Для суммы \(-\frac{12}{13}+(-1)\) приводим к удобной форме: записываем \(1\) как дробь с тем же знаменателем, то есть \(1=\frac{13}{13}\). Тогда \(-\frac{12}{13}+(-1)=-(\frac{12}{13}+1)=-(\frac{12}{13}+\frac{13}{13})=-(\frac{25}{13})=-\frac{25}{13}\). Здесь ключевой шаг — объединение одинаковых знаменателей, после чего модуль суммы равен \(\frac{25}{13}\), а общий знак минус сохраняется.

в) В случае десятичных чисел \(-350{,}6+(-150{,}4)\) действуем по тому же правилу: \(-(350{,}6+150{,}4)\). Складываем модули столбиком или устно: \(350{,}6+150{,}4=501{,}0\). Получаем \(-501\). Заметим, что десятичная часть дала ровно \(1{,}0\), поэтому результат — целое отрицательное число.

№3
Сумма смешанных отрицательных чисел \(-2\frac{3}{7}+(-3\frac{1}{2})+(-\frac{1}{14})\) равна отрицанию суммы их модулей: \(-(2\frac{3}{7}+3\frac{1}{2}+\frac{1}{14})\). Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и приводим к общему знаменателю \(14\). Имеем \(2\frac{3}{7}=2+\frac{3}{7}=\frac{28}{14}+\frac{6}{14}=\frac{34}{14}\); \(3\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=\frac{42}{14}+\frac{7}{14}=\frac{49}{14}\); \(\frac{1}{14}=\frac{1}{14}\). Складываем: \(\frac{34}{14}+\frac{49}{14}+\frac{1}{14}=\frac{84}{14}=6\). Потому исходная сумма равна \(-6\). Логика прежняя: общий минус вынесен, внутри остаётся сумма положительных модулей.

№4
а) Почему сумма двух отрицательных меньше каждого слагаемого? Пусть \(x<0\) и \(y<0\). Тогда \(x+y=-(|x|+|y|)\), а \(|x|+|y|>|x|\) и \(|x|+|y|>|y|\). Следовательно, \(x+y\) более «отрицательно», чем каждое из них: \(-7+(-3)=-10\), где \(-7>-10\) и \(-3>-10\). Это иллюстрирует, что добавление отрицательного уменьшает значение.

б) Сумма может оказаться меньше \(-100\), даже если одно слагаемое больше \(100\), потому что второе может быть по модулю существенно больше и отрицательно. Пример: \(150+(-500)=-350\). Здесь модуль отрицательного \(500\) превосходит \(150\), поэтому итог уходит далеко в минус: \(-350<-100\). Формально: если \(a>100\) и \(b<-200\), то \(a+b< -100\). в) Три отрицательных числа могут иметь сумму, которая больше \(-1\), если их модули очень малы. Возьмём числа с малыми десятичными долями: \(-0{,}01\), \(-0{,}001\), \(-0{,}1\). Складываем модули: \(0{,}01+0{,}001+0{,}1=0{,}111\). Тогда сумма равна \(-0{,}111\), и действительно \(-0{,}111>-1\), потому что по числовой прямой все числа вблизи нуля больше любого большого по модулю отрицательного. Здесь важен принцип: чем меньше общий модуль суммы, тем ближе результат к нулю и тем он больше среди отрицательных чисел.