ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Проверьте себя стр.23 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа
1 Модуль отрицательного числа равен:
а) самому числу;
б) нулю;
в) противоположному числу;
г) единице.

2 Какое из чисел расположено на координатной прямой ближе к нулю:
а) \(-3,6\) или \(-3,06\);
б) \(-7,8\) или \(3,6\);
в) \(5,4\) или \(-5 \frac{3}{5}\);
г) \(-\frac{1}{2}\) или \(0,4\)?

3 Вычислите, ответ запишите в виде десятичной дроби:
а) \(|1,5| + \left| -2 \frac{3}{4} \right|\);
б) \(|-0,5| \left| \frac{2}{5} \right|\).

4 Запишите все целые числа, модуль которых меньше 7, но больше 3.

№1 Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: для \(a<0\) имеем \(|a|=-a\). Ответ: в).

№2 a) Сравним модули: \(|-3{,}6|=3{,}6\) и \(|-3{,}06|=3{,}06\). Меньший модуль у \(-3{,}06\) ⇒ ближе к нулю \(-3{,}06\).

б) \(|-7{,}8|=7{,}8\) и \(|3{,}6|=3{,}6\). Меньший модуль у \(3{,}6\) ⇒ ближе \(3{,}6\).

в) \(|5{,}4|=5{,}4\) и \(|-5{,}4|=5{,}4\). Расстояния равны ⇒ оба на одинаковом расстоянии.

г) \(\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}=0{,}5\) и \(|0{,}4|=0{,}4\). Меньший модуль у \(0{,}4\) ⇒ ближе \(0{,}4\).

№3 a) \(|1{,}5|+ \left| -2 \frac{3}{4}\right|=1{,}5+2\frac{3}{4}= \frac{3}{2}+\frac{11}{4}=\frac{6}{4}+\frac{11}{4}=\frac{17}{4}=4\frac{1}{4}\).

б) \(\left| -0{,}5 \right|-\left| \frac{2}{5} \right|=0{,}5-0{,}4=0{,}1\).

№4 \(3<|x|<7\), \(x\) — целое. Тогда \(|x|\in\{4,5,6\}\) ⇒ \(x\in\{-6,-5,-4,4,5,6\}\).

№1 Для любого отрицательного числа \(a<0\) модуль определён как расстояние от числа до нуля на числовой оси, то есть \(|a|=-a\), потому что само число \(a\) меньше нуля и, чтобы получить неотрицательное расстояние, нужно сменить знак. Пример: для \(a=-7\) получаем \(|-7|=7=-(-7)\). Следовательно, формулировка «модуль отрицательного числа равен противоположному числу» верна. Ответ: в).

№2 a) Сравниваем расстояния чисел до нуля: \(|-3{,}6|=3{,}6\) и \(|-3{,}06|=3{,}06\). Чем меньше модуль, тем ближе число к нулю. Так как \(3{,}06<3{,}6\), то ближе к нулю \(-3{,}06\). На оси обе точки слева от нуля, но \(-3{,}06\) ближе, так как абсолютное значение меньше.

б) \(|-7{,}8|=7{,}8\) и \(|3{,}6|=3{,}6\). Сравниваем \(7{,}8\) и \(3{,}6\): меньше модуль у \(3{,}6\), значит число \(3{,}6\) расположено ближе к нулю, хотя одно число слева, а другое справа; важна только величина модуля как расстояние.

в) \(|5{,}4|=5{,}4\) и \(|-5{,}4|=5{,}4\). Оба модуля равны, следовательно, точки симметричны относительно нуля и находятся на одинаковом расстоянии от него. Это общее свойство пар \(a\) и \(-a\): \(|a|=|-a|\).

г) Преобразуем дробь: \(\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}=0{,}5\), а \(|0{,}4|=0{,}4\). Сравниваем \(0{,}5\) и \(0{,}4\): меньший модуль \(0{,}4\), значит число \(0{,}4\) ближе к нулю. Здесь важно, что модуль не зависит от знака, но зависит от величины.

№3 a) Последовательно находим модули и складываем. Сначала \(|1{,}5|=1{,}5\), затем \(\left|-2\frac{3}{4}\right|=2\frac{3}{4}\). Приведём к неправильным дробям: \(1{,}5=\frac{3}{2}\), \(2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\). Складываем: \(\frac{3}{2}+\frac{11}{4}=\frac{6}{4}+\frac{11}{4}=\frac{17}{4}\). Перевод в смешанное число: \(\frac{17}{4}=4\frac{1}{4}\). Это и есть сумма модулей, что соответствует геометрической сумме длин на оси.

б) Находим разность модулей: \(\left|-0{,}5\right|=0{,}5\), \(\left|\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}=0{,}4\). Вычитаем: \(0{,}5-0{,}4=0{,}1\). Важно, что сначала берём модуль (получаем неотрицательные величины), а затем выполняем обычные действия с положительными числами.

№4 Неравенство \(3<|x|<7\) означает, что расстояние от точки \(x\) до нуля строго больше \(3\) и строго меньше \(7\). Для целых значений это даёт \(|x|\in\{4,5,6\}\), так как \(|x|=3\) и \(|x|=7\) исключены строгими знаками. При каждом допустимом \(|x|=k\) имеем две симметричные точки \(x=\pm k\). Следовательно, полный набор целых решений: \(x\in\{-6,-5,-4,4,5,6\}\). Это множество можно видеть как объединение двух интервалов на оси: точки левее \(-3\), но правее \(-7\), и точки правее \(3\), но левее \(7\), взятые в целых координатах.