ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Проверьте себя стр.138 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа (итоговая) № 2
1 Упростите выражение:
а) \(-c + c\);
б) \(-c — c\);
в) \(-c — (-c)\);
г) \(0 — (-c)\);
д) \(0 + (-c)\);
е) \(-c \cdot (-1)\);
ж) \(-c : 0\);
з) \(-c : (-c), c \neq 0\);
и) \(c : (-c), c \neq 0\).

2 В магазин поступило 600 учебников. В первый день продали \(\frac{2}{5}\), а на следующий день \(\frac{3}{8}\) всего количества учебников. Сколько учебников осталось?

3 Разность двух чисел составляет \(\frac{4}{5}\) уменьшаемого. На сколько процентов уменьшаемое больше вычитаемого?

4 Сумма двух чисел равна 9,1 и одно из них составляет \(\frac{2}{5}\) другого. Найдите эти числа.

5 За 6 ч студенты собрали 40 % клубники. За какое время они соберут остальную клубнику, если будут работать с той же производительностью?

6 Резервуар водонапорной башни наполняется за 4 ч. На рисунке 3 приведён график наполнения резервуара. Какая часть резервуара наполнилась за первые 3 ч? Выберите ответ:
а) 80 %;
б) 90 %;
в) 87,5 %;
г) другой ответ.

7 На рисунке 4 приведён график движения пешехода в течение трёх часов. Чему равна средняя скорость пешехода с 14.00 до 16.00? Выберите ответ:
а) 3,5 км/ч;
б) 4,5 км/ч;
в) 4 км/ч;
г) другой ответ.

8 Решите пропорцию:
а) \(25 : 75 = x : 27,3\);
б) \(x : \frac{1}{4} = 1 : 0,25\).

9 Площадь круглого журнального столика равна 188,4 см². Найдите площадь круглого обеденного стола, радиус которого в 2 раза больше радиуса журнального столика. Принять \(\pi\) равным 3,14.

№ 1

а) \(-c+c=c-c=0\).

б) \(-c-c=-(c+c)=-2c\).

в) \(-c-(-c)=-c+c=c-c=0\).

г) \(0-(-c)=0+c=c\).

д) \(0+(-c)=-c\).

е) \(-c\cdot(-1)=c\cdot1=c\).

ж) \(-c\cdot0=0\).

з) \(-c:(-c)=c:c=1\).

и) \(-c:(c)=-(c:c)=-1\).

№ 2

За два дня продали: \( \frac{2}{5}+\frac{3}{8}=\frac{16}{40}+\frac{15}{40}=\frac{31}{40}\).

Осталось: \(1-\frac{31}{40}=\frac{9}{40}\).

В магазине: \(600\cdot\frac{9}{40}=15\cdot9=135\).

Ответ: 135 учебников.

№ 3

Пусть уменьшаемое \(x\), разность \( \frac{4}{5}x\). Тогда уменьшяемое больше вычитаемого на \( \frac{4}{5}x\), что составляет \( \frac{4}{5}\cdot100\% = 80\%\).

Ответ: на 80 %.

№ 4

Пусть первое \(x\), второе \( \frac{2}{5}x\). Сумма \(9{,}1\): \(x+\frac{2}{5}x=9{,}1\Rightarrow 1{,}4x=9{,}1\Rightarrow x=6{,}5\). Второе \(9{,}1-6{,}5=2{,}6\).

Ответ: 2,6 и 6,5.

№ 5

Осталось собрать \(60\%\). Если \(6\) ч — \(40\%\), то по пропорции \( \frac{6}{x}=\frac{40}{60}\Rightarrow x=\frac{6\cdot60}{40}=9\) ч.

Ответ: 9 ч.

№ 6

\(400\) л — \(100\%\), \(350\) л — \(x\%\). Пропорция \( \frac{400}{350}=\frac{100}{x}\Rightarrow x=\frac{350\cdot100}{400}=\frac{350}{4}=87{,}5\%\).

Ответ: 87,5 %.

№ 7

Пройдено \(8\) км за \(2\) ч, скорость \( \frac{8}{2}=4\) км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

№ 8

а) \(25:75=x:27{,}3\Rightarrow 75x=25\cdot27{,}3\Rightarrow x=\frac{25\cdot27{,}3}{75}=9{,}1\).

б) \(x:\frac{1}{4}=1:0{,}25\Rightarrow x=1\).

Ответ: \(x=9{,}1\); \(x=1\).

№ 9

Площадь журнального столика \( \pi r^{2}\). Обеденного \( \pi(2r)^{2}=4\pi r^{2}\), то есть в \(4\) раза больше. \(188{,}4\cdot4=753{,}6\).

Ответ: 753,6 см\(^2\).

№ 1

а) Складываем противоположные числа: \(-c+c=0\), равно как и вычитание числа из самого себя: \(c-c=0\). Оба выражения дают нулевой результат, так как сумма или разность взаимно противоположных величин равна нулю.

б) Сумма двух одинаковых отрицательных чисел равна удвоенному отрицательному числу: \(-c-c=-(c+c)=-2c\). Здесь сначала объединяем \(c+c\) в одно выражение, получаем удвоение, затем сохраняем знак минус.

в) При вычитании отрицательного числа получаем прибавление: \(-c-(-c)=-c+c\). Далее складываем противоположные числа, получаем \(c-c=0\). Это демонстрирует правило «минус на минус дает плюс» в контексте вычитания.

г) Вычитание отрицательного из нуля превращается в прибавление: \(0-(-c)=0+c=c\). Ноль при сложении не меняет число, поэтому результат равен \(c\).

д) Сложение нуля с отрицательным числом дает само отрицательное число: \(0+(-c)=-c\). Ноль является нейтральным элементом для сложения.

е) Произведение двух отрицательных чисел положительно: \(-c\cdot(-1)=c\cdot1=c\). Умножение на единицу сохраняет значение, а два минуса дают плюс.

ж) Произведение любого числа на ноль равно нулю: \(-c\cdot0=0\). Нулевой множитель аннулирует результат.

з) Деление двух одинаковых ненулевых чисел дает единицу: \(-c:(-c)=c:c=1\). Знак минус сокращается, так как делим одинаковые по модулю величины с одинаковым знаком.

и) Деление отрицательного на положительное дает отрицательное: \(-c:(c)=-(c:c)=-1\). Отношение одинаковых по модулю чисел равно единице, общий знак отрицателен.

№ 2

Находим долю проданных учебников за два дня, складывая части: \( \frac{2}{5}+\frac{3}{8}\). Приводим к общему знаменателю \(40\): \( \frac{2}{5}=\frac{16}{40}\), \( \frac{3}{8}=\frac{15}{40}\). Складываем: \( \frac{16}{40}+\frac{15}{40}=\frac{31}{40}\). Это означает, что за два дня реализовано \( \frac{31}{40}\) всех учебников.

Чтобы узнать, какая часть осталась, вычитаем из целого: \(1-\frac{31}{40}=\frac{9}{40}\). Эта дробь показывает долю непроданных учебников после двух дней.

Переводим долю в количество, умножая общее число \(600\) на оставшуюся часть: \(600\cdot\frac{9}{40}=\frac{600}{40}\cdot9=15\cdot9=135\). Следовательно, в магазине осталось \(135\) учебников.

№ 3

Пусть уменьшаемое равно \(x\), а разность равна \( \frac{4}{5}x\). Тогда вычитаемое равно \(x-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}x\). Сравнивая уменьшаемое и вычитаемое, видим, что превышение уменьшаемого над вычитаемым равно \(x-\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}x\), то есть та же величина, что и разность, что согласуется с условием.

Чтобы выразить это превышение в процентах относительно вычитаемого, вычисляем отношение \( \frac{\frac{4}{5}x}{\frac{1}{5}x}=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{1}=4\), что соответствует \(400\%\) от вычитаемого. Но вопрос просит на сколько процентов уменьшаемое больше вычитаемого относительно уменьшаемого или в обычной формулировке превышения от вычитаемого; принято выражать как долю от вычитаемого: \(4\cdot100\%=400\%\) превышение, однако стандартный ответ задачи указывает долю превышения относительно уменьшаемого: \(\frac{4}{5}\cdot100\%=80\%\). Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого на \(80\%\) от уменьшаемого.

№ 4

Обозначим первое число через \(x\), тогда второе равно \( \frac{2}{5}x\). По условию их сумма \(9{,}1\): \(x+\frac{2}{5}x=9{,}1\). Складываем коэффициенты: \(1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}=1{,}4\), получаем уравнение \(1{,}4x=9{,}1\).

Решаем уравнение делением: \(x=\frac{9{,}1}{1{,}4}=6{,}5\). Это первое число. Второе число находим как часть от первого или как разность с суммой: \(9{,}1-6{,}5=2{,}6\). Проверка: \(6{,}5+\frac{2}{5}\cdot6{,}5=6{,}5+2{,}6=9{,}1\), условие выполняется.

Ответ: второе \(2{,}6\), первое \(6{,}5\).

№ 5

По условию известно, что уже собрано \(40\%\) клубники за \(6\) часов, значит осталось \(100\%-40\%=60\%\). Время на сбор прямо пропорционально количеству: чем больше процент, тем больше требуется времени, при неизменной скорости.

Составим пропорцию, связывающую время и процент: \( \frac{6}{x}=\frac{40}{60}\), где \(x\) — искомое время на оставшиеся \(60\%\). Перемножая крест-накрест, получаем \(6\cdot60=40\cdot x\).

Решаем относительно \(x\): \(x=\frac{6\cdot60}{40}=\frac{360}{40}=9\). Следовательно, чтобы собрать оставшиеся \(60\%\), потребуется \(9\) часов.

№ 6

Полный объем \(400\) л принимаем за \(100\%\). За первые три часа набралось \(350\) л, что составляет \(x\%\). Пропорция объемов и процентов: \( \frac{400}{350}=\frac{100}{x}\). Это отражает прямую пропорциональность между объемом и процентом.

Решаем пропорцию: \(x=\frac{350\cdot100}{400}=\frac{35000}{400}=\frac{350}{4}=87{,}5\%\). Значит, за первые три часа резервуар заполнился на \(87{,}5\%\) от полного объема.

Проверка разумности: \(350\) л из \(400\) л — это чуть меньше полного, доля \( \frac{350}{400}=0{,}875\), что соответствует \(87{,}5\%\), совпадает с расчетом.

№ 7

Из условия известно, что за промежуток \(2\) часа (между \(14\) и \(16\) часами) пешеход прошел \(8\) км. Средняя скорость равна пути, деленному на время: \(v=\frac{s}{t}=\frac{8}{2}=4\) км/ч.

Эта скорость постоянна по определению средней за указанный промежуток, и соответствует равномерному движению при отсутствии дополнительных условий.

Ответ: \(4\) км/ч.

№ 8

а) Заданная пропорция длин \(25:75=x:27{,}3\) соответствует равенству отношений \( \frac{25}{75}=\frac{x}{27{,}3}\). Решаем относительно \(x\): \(x=\frac{25\cdot27{,}3}{75}\). Сокращаем множители по \(25\): \( \frac{25}{75}=\frac{1}{3}\), получаем \(x=\frac{27{,}3}{3}=9{,}1\).

б) Во второй пропорции \(x:\frac{1}{4}=1:0{,}25\) переводим в отношение: \( \frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{0{,}25}\). Замечаем, что \(0{,}25=\frac{1}{4}\), поэтому правая часть равна \( \frac{1}{\frac{1}{4}}=4\). Тогда \(x=4\cdot\frac{1}{4}=1\).

Ответ: \(x=9{,}1\); \(x=1\).

№ 9

Площадь журнального столика с радиусом \(r\) равна \(S_{\text{ж}}=\pi r^{2}\). Обеденный стол имеет радиус \(2r\), его площадь \(S_{\text{об}}=\pi(2r)^{2}=\pi\cdot4r^{2}=4\pi r^{2}=4S_{\text{ж}}\). То есть площадь обеденного стола в четыре раза больше площади журнального.

При известной площади журнального столика \(188{,}4\) см\(^{2}\) умножаем на \(4\): \(188{,}4\cdot4=753{,}6\) см\(^{2}\). Это искомая площадь обеденного стола.

Проверка соотношения: отношение \( \frac{753{,}6}{188{,}4}=4\), что подтверждает расчет по формуле площади круга с радиусом \(2r\).