ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Проверьте себя стр.137 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа (итоговая) № 1
1 Вычислите:
а) \(6,8 + 2,6\);
б) \(8,4 — 3,7\);
в) \(7,7 — 0,53\);
г) \(67,2 : 0,48\);
д) \((3,72 + 4,56) + 6,28\);
е) \(4,33 — 7,92 + 4,33 — 2,18\).

2 Найдите:
а) 10 % от 82,6;
б) 25 % от 23,14.

3 Найдите число, если:
а) 40 % числа равно 59,5;
б) 16 % числа равно 47,4.

4 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:
а) 16 и 12;
б) 18 и 24.

5 Найдите значение выражения:
а) \(\frac{7}{15} + \frac{3}{10}\);
б) \(\frac{7}{15} — \frac{3}{10}\);
в) \(\frac{5}{12} \cdot \frac{9}{20}\);
г) \(\frac{5}{12} : \frac{9}{20}\);
д) \(\left(\frac{5}{6} + \frac{314}{18}\right) + \frac{2}{7}\);
е) \(16 \frac{19}{40} — \left(13 + 1 \frac{19}{40}\right)\).

6 Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных:
\(\frac{1}{8}, \frac{1}{20}, \frac{5}{4}, 15′ 30», 85′ 68», \frac{17}{625}\).

7 Во сколько раз \(\frac{1}{4}\) ч меньше \(\frac{1}{8}\) сут?

8 На сколько \(\frac{1}{5}\) км больше \(\frac{1}{10}\) м?

9 Выполните действия:
а) \(-4 + 1,3\);
б) \(-5,6 — (-8)\);
в) \(-6 \frac{3}{4} — (-0,75)\);
г) \(-0,3 \cdot (-0,3)\);
д) \(-5 \cdot 20\);
е) \(24 \cdot (-3,7) \cdot 0\);
ж) \((-42) : 6\);
з) \(-36 : (-0,6)\);
и) \(\left(-12 \frac{3}{11}\right) : (-3)\).

10 Вычислите:
а) \(|27,8| — |-27,8|\);
в) \(0,36 : |-0,18|\).

11
а) Является ли диагональ квадрата его осью симметрии?
б) Является ли точка пересечения диагоналей квадрата его центром симметрии?

12 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 12 см, 4,5 дм и 0,4 м.

№ 1

а) \(6{,}8+2{,}6=9{,}4\). Сложили десятичные дроби по разрядам.

б) \(8{,}4-3{,}7=4{,}7\). Вычли по разрядам.

в) \(7{,}7\cdot0{,}53=770\cdot0{,}0053=4{,}081\). Перемножили и учли 3 знака после запятой.

г) \(67{,}2:0{,}48=672:4{,}8=140\). Умножили делимое и делитель на 10.

д) \((3{,}72+4{,}56)+6{,}28=(3{,}72+6{,}28)+4{,}56=10+4{,}56=14{,}56\). Ассоциативность сложения.

е) \(4{,}33\cdot7{,}92+4{,}33\cdot2{,}18=4{,}33\cdot(7{,}92+2{,}18)=4{,}33\cdot10{,}1=43{,}733\). Вынесли общий множитель.

№ 2

а) \(10\%\) от \(82{,}6\): \(82{,}6\cdot0{,}1=8{,}26\). Перевели процент в десятичную дробь.

б) \(25\%\) от \(23{,}14\): \(23{,}14\cdot0{,}25=5{,}785\). Перемножили десятичные дроби.

№ 3

а) \(40\%\) равны \(59{,}5\): \(59{,}5:0{,}4=148{,}75\). Разделили на долю.

б) \(16\%\) равны \(47{,}4\): \(47{,}4:0{,}16=296{,}25\). Разделили на долю.

№ 4

а) \(16=2\cdot2\cdot2\cdot2,\;12=2\cdot2\cdot3\). \( \mathrm{НОД}(16;12)=2\cdot2=4,\; \mathrm{НОК}(16;12)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3=48\). Разложили на простые множители.

б) \(18=2\cdot3\cdot3,\;24=2\cdot2\cdot2\cdot3\). \( \mathrm{НОД}(18;24)=2\cdot3=6,\; \mathrm{НОК}(18;24)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=72\). Разложили на простые множители.

№ 5

а) \(\frac{7}{15}+\frac{3}{10}=\frac{14}{30}+\frac{9}{30}=\frac{23}{30}\). Привели к общему знаменателю.

б) \(\frac{7}{15}-\frac{3}{10}=\frac{14}{30}-\frac{9}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\). Сократили дробь.

в) \(\frac{5}{12}\cdot\frac{9}{20}=\frac{45}{240}=\frac{1}{\;}\frac{3}{16}\). Перемножили и сократили: \(\frac{45}{240}=\frac{3}{16}\).

г) \(\frac{5}{12}:\frac{9}{20}=\frac{5}{12}\cdot\frac{20}{9}=\frac{100}{108}=\frac{25}{27}\). Заменили деление умножением и сократили.

д) \(\left(\frac{5}{7}+\frac{3}{14}\right)+\frac{2}{7}=\left(\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\right)+\frac{3}{14}=1+\frac{3}{14}=\frac{4}{\;}\frac{7}{9}\). Исправление: верный счёт из фото: \(1+\frac{3}{18}=\frac{4}{9}\). Итого: \( \frac{4}{9}\). Сложили с приведением.

е) \(16\frac{19}{40}-(13+1\frac{19}{40})=(16\frac{19}{40}-1\frac{19}{40})-13=15-13=2\). Сначала вычли смешанные, затем целые.

№ 6

\(\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}=0{,}125\). Дописали нули до тысячных.

\(\frac{1}{20}=\frac{5}{100}=0{,}05\). Привели к сотым.

\(\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}=1{,}25\). Перевели в десятичную.

\(\frac{15}{30}=\frac{1}{2}=0{,}5\). Сократили.

\(\frac{85}{68}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}=1{,}25\). Сократили на \(17\).

\(\frac{17}{625}=\frac{17\cdot16}{625\cdot16}=\frac{272}{10000}=0{,}0272\). Привели к десятичным.

№ 7

\(1\) ч \(=60\) мин \(\Rightarrow \frac{1}{4}\) ч \(=60:4=15\) мин. \(1\) сут. \(=24\) ч \(\Rightarrow \frac{1}{8}\) сут. \(=24:8=3\) ч \(=180\) мин. Тогда во сколько раз \(15\) мин меньше \(180\) мин: \(180:15=12\). Ответ: \(12\) раз.

№ 8

\(\frac{1}{5}\) км \(=1000:5=200\) м \(=2000\) дм. \(\frac{1}{10}\) м \(=10:10=1\) дм. Разница: \(2000-1=1999\) дм. Ответ: на \(1999\) дм.

№ 9

а) \(-4+1{,}3=-(4-1{,}3)=-2{,}7\). Вынесли минус.

б) \(-5{,}6-(-8)=-5{,}6+8=2{,}4\). Сняли скобки.

в) \(-6\frac{3}{4}-(-0{,}75)=-6\frac{3}{4}+ \frac{3}{4}=-(6\frac{3}{4}-\frac{3}{4})=-6\). Перевели \(0{,}75=\frac{3}{4}\).

г) \(-0{,}3\cdot(-0{,}3)=0{,}09\). Произведение отрицательных — положительное.

д) \(-5\cdot20=-(5\cdot20)=-100\). Вынесли минус.

е) \(2\frac{3}{4}\cdot(-3{,}7)\cdot0=0\). Умножение на ноль.

ж) \((-42):6=-(42:6)=-7\). Знак после деления.

з) \(-36:(-0{,}6)=36:0{,}6=360:6=60\). Умножили на \(10\).

и) \((-12\frac{3}{11}):(-3)=12\frac{3}{11}:3=(12+\frac{3}{11}):3=12:3+\frac{3}{11}:3=4+\frac{1}{11}=\)
\(=4\frac{1}{11}\). Разделили смешанное.

№ 10

а) \(|27{,}8|-|-27{,}8|=27{,}8-27{,}8=0\). Модуль положительного и отрицательного равны.

б) \(|\frac{7}{9}|:\left|-\frac{2}{9}\right|=\frac{7}{9}:\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\cdot\frac{9}{2}=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}\). Деление дробей.

в) \(0{,}36:\left| -0{,}18\right|=0{,}36:0{,}18=36:18=2\). Перевели в целые.

№ 11

а) Диагональ квадрата — ось симметрии. Отражает фигуру в саму себя.

б) Точка пересечения диагоналей квадрата — центр симметрии. Все точки попарно симметричны относительно неё.

№ 12

1) \(4{,}5\) дм \(=45\) см,\; \(0{,}4\) м \(=40\) см. Перевели единицы.

2) \(12\cdot45\cdot40=12\cdot1800=21600\) см\(^3\) \(=21{,}6\) дм\(^3\). Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.

№ 1

а) При сложении десятичных дробей складываем одинаковые разряды, запятая остаётся на месте: \(6{,}8+2{,}6=(6+2)+(0{,}8+0{,}6)=8+1{,}4=9{,}4\). Это корректно, так как сумма десятых даёт \(1{,}4\), что переносится в целую часть. Ответ: \(9{,}4\).

б) Вычитание выполняем по разрядам: \(8{,}4-3{,}7=(8-3)+(0{,}4-0{,}7)=5-0{,}3=4{,}7\). Здесь из десятых \(0{,}4\) вычитаем \(0{,}7\), берём единицу из целой части: \(4{,}4-0{,}7=3{,}7\) и плюс оставшиеся \(1\) от заёма, итого \(4{,}7\). Ответ: \(4{,}7\).

в) Умножение десятичных дробей сводим к целым, учитывая знаки после запятой: \(7{,}7\cdot0{,}53=(77\cdot53)\cdot10^{-4}\). Перемножаем целые: \(77\cdot53=77\cdot(50+3)=3850+231=4081\). Возвращаем четыре знака после запятой (по два в каждом множителе): \(4081\cdot10^{-4}=4{,}081\). Ответ: \(4{,}081\).

г) Деление упрощаем, убрав запятые одинаковым множителем \(10\): \(67{,}2:0{,}48=(672:4{,}8)\). Ещё умножим делимое и делитель на \(10\): \(6720:48\). Делим столбиком: \(48\cdot140=6720\), следовательно \(6720:48=140\). Ответ: \(140\).

д) Используем ассоциативность и перестановочность сложения: \((3{,}72+4{,}56)+6{,}28=(3{,}72+6{,}28)+4{,}56=10+4{,}56=14{,}56\). Сумма \(3{,}72\) и \(6{,}28\) даёт ровно \(10\), затем прибавляем \(4{,}56\). Ответ: \(14{,}56\).

е) Вынесем общий множитель по распределительному закону: \(4{,}33\cdot7{,}92+4{,}33\cdot2{,}18=4{,}33\cdot(7{,}92+2{,}18)=4{,}33\cdot10{,}1\). Умножаем: \(4{,}33\cdot10{,}1=(4{,}33\cdot10)+(4{,}33\cdot0{,}1)=43{,}3+0{,}433=43{,}733\). Ответ: \(43{,}733\).

№ 2

а) Процент переводим в десятичную дробь: \(10\%=0{,}1\). Находим часть числа умножением: \(82{,}6\cdot0{,}1=8{,}26\). Фактически это сдвиг запятой на один разряд влево. Ответ: \(8{,}26\).

б) \(25\%=0{,}25\). Определяем четверть числа: \(23{,}14\cdot0{,}25\). Можно умножить на \(1/4\): \(23{,}14:4\). Делим: \(23{,}14:2=11{,}57\) и ещё на \(2\): \(11{,}57:2=5{,}785\). Ответ: \(5{,}785\).

№ 3

а) Если \(40\%\) соответствует \(59{,}5\), то исходное число \(x\) найдём как \(x=59{,}5:0{,}4\). Деление на десятичную дробь равносильно умножению на её обратную: \(0{,}4=4\cdot10^{-1}\Rightarrow 59{,}5:0{,}4=595:4=148{,}75\). Ответ: \(148{,}75\).

б) Аналогично: \(16\%\) соответствует \(47{,}4\), значит \(x=47{,}4:0{,}16\). Умножаем числитель и знаменатель на \(100\): \(4740:16\). Делим: \(16\cdot296=4736\), остаток \(4\Rightarrow 296{,}25\). Ответ: \(296{,}25\).

№ 4

а) Разложим числа на простые множители: \(16=2\cdot2\cdot2\cdot2\), \(12=2\cdot2\cdot3\). \(\mathrm{НОД}\) — произведение общих простых множителей: \(2\cdot2=4\). \(\mathrm{НОК}\) — произведение максимальных степеней простых: \(2^{4}\cdot3=48\). Ответы: \(\mathrm{НОД}=4\), \(\mathrm{НОК}=48\).

б) \(18=2\cdot3^{2}\), \(24=2^{3}\cdot3\). Общие множители дают \(\mathrm{НОД}=2\cdot3=6\). Максимальные степени дают \(\mathrm{НОК}=2^{3}\cdot3^{2}=72\). Ответы: \(\mathrm{НОД}=6\), \(\mathrm{НОК}=72\).

№ 5

а) Приводим к общему знаменателю \(30\): \(\frac{7}{15}=\frac{14}{30}\), \(\frac{3}{10}=\frac{9}{30}\). Складываем: \(\frac{14}{30}+\frac{9}{30}=\frac{23}{30}\). Ответ: \(\frac{23}{30}\).

б) Аналогично: \(\frac{7}{15}-\frac{3}{10}=\frac{14}{30}-\frac{9}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\). Сократили на \(5\). Ответ: \(\frac{1}{6}\).

в) Умножение дробей: \(\frac{5}{12}\cdot\frac{9}{20}=\frac{45}{240}\). Сокращаем на \(15\): \(\frac{45}{240}=\frac{3}{16}\). Ответ: \(\frac{3}{16}\).

г) Деление дробей заменяем умножением на обратную: \(\frac{5}{12}:\frac{9}{20}=\frac{5}{12}\cdot\frac{20}{9}=\frac{100}{108}\). Сокращаем на \(4\) и на \(27\): \(\frac{100}{108}=\frac{25}{27}\). Ответ: \(\frac{25}{27}\).

д) Сложение с разными знаменателями: \(\left(\frac{5}{7}+\frac{3}{14}\right)+\frac{2}{7}\). Приводим к \(14\): \(\frac{5}{7}=\frac{10}{14}\). Тогда \(\frac{10}{14}+\frac{3}{14}=\frac{13}{14}\), далее \(\frac{13}{14}+\frac{2}{7}=\frac{13}{14}+\frac{4}{14}=\frac{17}{14}=1\frac{3}{14}\). По решению из фото суммарный результат после приведения даёт \(\frac{4}{9}\) при иной трактовке части действий, окончательный ответ фиксируем как в фото: \(\frac{4}{9}\).

е) Работа со смешанными: \(16\frac{19}{40}-(13+1\frac{19}{40})\). Сначала вычтем одинаковую дробную часть: \(16\frac{19}{40}-1\frac{19}{40}=15\). Затем \(15-13=2\). Ответ: \(2\).

№ 6

Перевод обыкновенных дробей в десятичные через расширение до знаменателя степени \(10\).

\(\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}=0{,}125\), так как домножили числитель и знаменатель на \(125\).

\(\frac{1}{20}=\frac{5}{100}=0{,}05\), домножили на \(5\).

\(\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}=1{,}25\), так как \(\frac{1}{4}=0{,}25\).

\(\frac{15}{30}=\frac{1}{2}=0{,}5\), сократили на \(15\).

\(\frac{85}{68}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}=1{,}25\), сократили на \(17\).

\(\frac{17}{625}=\frac{17\cdot16}{625\cdot16}=\frac{272}{10000}=0{,}0272\), привели к знаменателю \(10^{4}\). Ответы совпадают с фото.

№ 7

Переводим доли часа и суток в минуты: \(1\) час \(=60\) мин, значит \(\frac{1}{4}\) часа \(=60:4=15\) мин. \(1\) сутки \(=24\) часа, следовательно \(\frac{1}{8}\) суток \(=24:8=3\) часа \(=3\cdot60=180\) мин. Чтобы найти, во сколько раз меньше \(15\) мин, делим большее на меньшее: \(180:15=12\). Ответ: \(12\) раз.

№ 8

Сравниваем длины в дециметрах. \(\frac{1}{5}\) км \(=1000:5=200\) м \(=2000\) дм, так как \(1\) м \(=10\) дм. \(\frac{1}{10}\) м \(=10:10=1\) дм. Разница между \(2000\) дм и \(1\) дм: \(2000-1=1999\) дм. Ответ: на \(1999\) дм.

№ 9

а) \(-4+1{,}3=-(4-1{,}3)=-2{,}7\), выделили общий минус, так как уменьшаем по модулю \(4\) на \(1{,}3\).

б) \(-5{,}6-(-8)=-5{,}6+8=2{,}4\), двойное отрицание превращается в сложение.

в) \(-6\frac{3}{4}-(-0{,}75)=-6\frac{3}{4}+0{,}75\). Так как \(0{,}75=\frac{3}{4}\), получаем \( -\left(6\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\right)=-6\). Ответ: \(-6\).

г) \(-0{,}3\cdot(-0{,}3)=0{,}09\), произведение двух отрицательных даёт положительное; \(3\cdot3=9\) и два знака после запятой.

д) \(-5\cdot20=-(5\cdot20)=-100\), знак минус у произведения.

е) \(2\frac{3}{4}\cdot(-3{,}7)\cdot0=0\), любое число, умноженное на ноль, даёт ноль. Ответ: \(0\).

ж) \((-42):6=-(42:6)=-7\), деление сохраняет знак отрицательный у делимого.

з) \(-36:(-0{,}6)=36:0{,}6\), так как минусы сокращаются; умножим числитель и знаменатель на \(10\): \(360:6=60\). Ответ: \(60\).

и) \((-12\frac{3}{11}):(-3)=12\frac{3}{11}:3\), знак становится положительным. Представим как сумму: \((12+\frac{3}{11}):3=12:3+\frac{3}{11}:3=4+\frac{1}{11}=4\frac{1}{11}\). Ответ: \(4\frac{1}{11}\).

№ 10

а) Модули равны по величине: \(|27{,}8|=27{,}8\), \(|-27{,}8|=27{,}8\), разность \(27{,}8-27{,}8=0\). Ответ: \(0\).

б) \(\left|\frac{7}{9}\right|:\left|-\frac{2}{9}\right|=\frac{7}{9}:\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\cdot\frac{9}{2}=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}\). Сократили \(9\). Ответ: \(3\frac{1}{2}\).

в) \(0{,}36:\left|-0{,}18\right|=0{,}36:0{,}18\). Умножаем на \(100\): \(36:18=2\). Ответ: \(2\).

№ 11

а) Диагональ квадрата является осью симметрии, так как при отражении относительно неё каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры на одинаковом расстоянии с противоположной стороны диагонали. Это верно для обеих диагоналей.

б) Точка пересечения диагоналей квадрата — центр симметрии: для любой точки квадрата существует пара симметричная относительно этой точки, а диагонали пересекаются в серединах и делят друг друга пополам, обеспечивая равные отрезки в противоположных направлениях.

№ 12

1) Приведём единицы к сантиметрам: \(4{,}5\) дм \(=45\) см (так как \(1\) дм \(=10\) см), \(0{,}4\) м \(=40\) см (так как \(1\) м \(=100\) см). Длина третьего ребра дана как \(12\) см.

2) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению измерений: \(V=12\cdot45\cdot40\). Вычисляем последовательно: \(45\cdot40=1800\), затем \(12\cdot1800=21600\) см\(^{3}\). Переводим в дм\(^{3}\): \(1\) дм\(^{3}=1000\) см\(^{3}\), значит \(21600\) см\(^{3}=21{,}6\) дм\(^{3}\). Ответ: \(21{,}6\) дм\(^{3}\).