ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 6.68 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Развивай мышление. Вычислите наиболее простым способом:

\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\)
\(-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

Сумму \(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}\) можно представить как
\(\left(1 — \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} — \frac{1}{7}\right) +\)
\(+ \left(\frac{1}{7} — \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} — \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} — \frac{1}{10}\right)\).

При раскрытии скобок все внутренние слагаемые сокращаются, остаются только \(1\) и \(-\frac{1}{10}\), то есть
\(1 — \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\).

Объяснение:
\(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} — \frac{1}{k+1}\), поэтому каждый член суммы можно разложить на разность дробей с последовательными знаменателями. При сложении получается телескопическая сумма, где все промежуточные члены сокращаются.

Рассмотрим сумму дробей вида \(\frac{1}{k(k+1)}\), где \(k\) принимает значения от 1 до 9:
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}\).

Каждую дробь можно представить в виде разности двух простых дробей, используя метод разложения на простые дроби:
\(
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} — \frac{1}{k+1}.
\)
Проверим это на примере:
\(
\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} — \frac{1}{2} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2},
\)
что совпадает с исходной дробью. Аналогично для других членов суммы:
\(
\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} — \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} — \frac{1}{4}, \quad \ldots \quad, \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} — \frac{1}{10}.
\)

Подставляя все разложения в исходную сумму, получаем:
\(
\left(1 — \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} — \frac{1}{7}\right) +\)
\(+ \left(\frac{1}{7} — \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} — \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} — \frac{1}{10}\right).
\)

Все внутренние члены сокращаются, так как каждый отрицательный член \(-\frac{1}{k}\) компенсируется положительным \(\frac{1}{k}\) следующего слагаемого. В итоге остаются только первый член \(1\) и последний отрицательный член \(-\frac{1}{10}\):
\(
1 — \frac{1}{10} = \frac{10}{10} — \frac{1}{10} = \frac{9}{10}.
\)

Таким образом, сумма всех данных дробей равна \(\frac{9}{10}\).

Объяснение сводится к тому, что разложение каждой дроби в сумму двух дробей с последующим сложением даёт телескопическую сумму — последовательность, в которой почти все члены сокращаются, оставляя только крайние. Это упрощает вычисление суммы, превращая сложное выражение в простое. Такой подход часто используется для суммирования дробей с произведениями в знаменателе.