ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 5.43 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:
a) \(|z|>3\);
б) \(|z-2|>6\);
в) \(|z|<5\);
г) \(|z|<7{,}3\);
д) \(|z|>4\frac{1}{5}\).

a) \(|z|>3 \Rightarrow z>3\) и \(z<-3\). Наименьшее положительное: \(z=4\). Наибольшее отрицательное: \(z=-4\).

б) \(|z-2|>6 \Rightarrow z>8\) и \(z<-4\). Наименьшее положительное: \(z=9\). Наибольшее отрицательное: \(z=-5\).

в) \(|z|<5 \Rightarrow -5<z<5\). Наименьшее положительное: \(z=1\). Наибольшее отрицательное: \(z=-1\).

г) \(|z|<7{,}3 \Rightarrow -7{,}3<z<7{,}3\). Наименьшее положительное: \(z=1\). Наибольшее отрицательное: \(z=-1\).

д) \(|z|>\frac{21}{5} \Rightarrow z>\frac{21}{5}\) и \(z<-\frac{21}{5}\). Наименьшее положительное: \(z=5\). Наибольшее отрицательное: \(z=-5\).

a) Условие \(|z|>3\) означает, что расстояние от нуля до \(z\) строго больше \(3\). Модуль раскрывается в двух случаях: \(z>3\) (точки правее \(3\)) и \(z<-3\) (точки левее \(-3\)). Среди целых чисел правее \(3\) наименьшим положительным решением будет первое целое, большее \(3\), то есть \(z=4\); далее подходят все \(z=5,6,7,\dots\). Среди целых левее \(-3\) наибольшим отрицательным является ближайшее к нулю целое \(z=-4\); затем следуют \(z=-5,-6,-7,\dots\). Все целые решения образуют объединение двух лучей: \(z\in\{\dots,-6,-5,-4,4,5,6,\dots\}\). Наименьшее положительное: \(z=4\). Наибольшее отрицательное: \(z=-4\).

б) Неравенство \(|z-2|>6\) описывает точки \(z\), отстоящие от числа \(2\) более чем на \(6\). Раскрывая модуль, получаем две ветви: \(z-2>6\) и \(z-2<-6\), то есть \(z>8\) и \(z<-4\). В правой ветви первым целым, удовлетворяющим \(z>8\), является \(z=9\); далее подходят все \(z=10,11,12,\dots\). В левой ветви наибольшее отрицательное решение — ближайшее к \(-4\) целое слева, то есть \(z=-5\); затем идут \(z=-6,-7,-8,\dots\). Совокупность целых решений: \(z\in\{\dots,-7,-6,-5,9,10,11,\dots\}\). Наименьшее положительное: \(z=9\). Наибольшее отрицательное: \(z=-5\).

в) Условие \(|z|<5\) задаёт интервал \(-5<z<5\). Внутри него берём только целые значения: \(z\in\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). Наименьшее положительное определяется как минимальное целое \(>0\) в этом интервале — это \(z=1\). Наибольшее отрицательное — максимальное целое \(<0\) — это \(z=-1\). Ноль включён в множество решений, но он не положительный и не отрицательный, поэтому для крайних положительного и отрицательного он не рассматривается. Все целые решения: \(z\in\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). Наименьшее положительное: \(z=1\). Наибольшее отрицательное: \(z=-1\).

г) Неравенство \(|z|<7{,}3\) даёт интервал \(-7{,}3<z<7{,}3\). Целые значения, попадающие внутрь, — это \(z\in\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\), потому что \(7\) и \(-7\) лежат внутри, а \(8\) и \(-8\) — уже вне интервала. Наименьшее положительное — \(z=1\), так как это минимальное целое \(>0\) среди допустимых. Наибольшее отрицательное — \(z=-1\), так как это максимальное целое \(<0\) среди допустимых. Все целые решения: \(z\in\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\). Наименьшее положительное: \(z=1\). Наибольшее отрицательное: \(z=-1\).

д) Неравенство \(|z|>4\frac{1}{5}\) эквивалентно \(|z|>\frac{21}{5}\), то есть модуль \(z\) строго больше \(4{,}2\). Это даёт две области: \(z>\frac{21}{5}\) и \(z<-\frac{21}{5}\). Среди целых справа первое число, строго большее \(4{,}2\), — \(z=5\); дальше подходят \(6,7,8,\dots\). Слева первое целое, строго меньшее \(-4{,}2\), — \(z=-5\); далее \(z=-6,-7,-8,\dots\). Все целые решения: \(z\in\{\dots,-7,-6,-5,5,6,7,\dots\}\). Наименьшее положительное: \(z=5\). Наибольшее отрицательное: \(z=-5\).