ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 5.31 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Бригада устанавливала в новом доме за смену 24 пластиковых окна, затрачивая на установку одного окна \(\frac{1}{3}\) ч. На сколько процентов повысится производительность труда этой бригады, если на установку окна будет затрачено \(\frac{2}{15}\) ч?

1) Пусть бригада ставит \(x\) окон, если на одно окно уходит \(\frac{4}{15}\) ч. Обратно пропорциональная зависимость: \(24:x=\frac{1}{\frac{4}{15}}:\frac{1}{\frac{1}{3}}\). Тогда \( \frac{4}{15}\,x=8 \Rightarrow x=8\cdot\frac{15}{4}=30\) окон.

2) Производительность в процентах: прямая пропорция \( \frac{24}{30}=\frac{100}{x}\). Тогда \(24x=30\cdot100 \Rightarrow x=\frac{30\cdot100}{24}=125\%\).

3) Повышение производительности: \(125-100=25\%\).

1) Пусть на установку одного окна требуется \(\frac{4}{15}\) часа. Тогда за 1 час бригада ставит \(\frac{1}{\frac{4}{15}}=\frac{15}{4}\) окна. Из условия известно, что 24 окна ставятся за \(\frac{1}{3}\) часа, то есть скорость исходной работы равна \(\frac{24}{\frac{1}{3}}=72\) окна в час. Поскольку время на одно окно изменилось до \(\frac{4}{15}\) часа, новая скорость равна \(\frac{1}{\frac{4}{15}}=\frac{15}{4}=3{,}75\) окна в час. Чтобы сопоставить с исходным табличным рассуждением на рисунке, используем обратную пропорциональность между числом окон и временем при фиксированной бригаде: чем больше время на одно окно, тем меньше окон поставят за тот же промежуток. В таблице сопоставлены 24 окна за \(\frac{1}{3}\) ч и \(x\) окон за \(\frac{4}{15}\) ч. Тогда по обратной пропорции получаем отношение \(24:x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{15}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{15}{4}=\frac{5}{4}\). Отсюда \(x=24\cdot\frac{4}{5}=19{,}2\). Однако по рисунку выполняется эквивалентная запись через произведение времени на одно окно и число окон: \(\frac{4}{15}\cdot x=\frac{1}{3}\cdot 24\). Это напрямую выражает равенство общих трудозатрат: «время на окно × число окон» в обеих ситуациях одинаково для одной и той же бригады. Тогда \(\frac{4}{15}\,x=8\), откуда \(x=8\cdot\frac{15}{4}=30\). Следовательно, за \(\frac{4}{15}\) часа бригада поставит \(x=30\) окон. Это согласуется с записью на изображении: \(x=30\) (окон).

2) Теперь нужно найти, во сколько раз изменится производительность (сколько процентов от исходной). Производительность пропорциональна числу окон, выполненных за один и тот же промежуток времени. В исходной ситуации за \(\frac{1}{3}\) часа ставили 24 окна, в новой за то же время ставят \(30\) окон. Значит, отношение новой производительности к исходной равно \(\frac{30}{24}\). Переведём это отношение в проценты, приравняв к неизвестному \(x\%\) от 100\%: \(\frac{24}{30}=\frac{100}{x}\). Отсюда по свойству пропорции \(24x=30\cdot100\), следовательно \(x=\frac{30\cdot100}{24}=125\%\). Это означает, что новая производительность составляет \(125\%\) от исходной, то есть стала больше на четверть.

3) Чтобы получить величину повышения в процентах, вычтем исходные \(100\%\) из новых \(125\%\): \(125-100=25\%\). Таким образом, производительность бригады повысилась на \(25\%\).