ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 5.20 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какой знак неравенства надо поставить вместо знака вопроса, чтобы выражение \(a \cdot c \ ? \ 0\) было верным при:
a) \(a>0, \ c>0\); б) \(a>0, \ c<0\); в) \(a<0, \ c<0\); г) \(a>0, \ c=0\); д) \(a=0, \ c<0\); e) \(a=0, \ c=0\)?

а) При \(a>0\) и \(c>0\) произведение двух положительных чисел положительно, значит \(ac>0\).

б) При \(a>0\) и \(c<0\) произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, значит \(ac<0\). в) При \(a<0\) и \(c<0\) произведение двух отрицательных чисел положительно, значит \(ac>0\).

г) При \(a>0\) и \(c=0\) любое число, умноженное на ноль, даёт ноль, значит \(ac=0\).

д) При \(a=0\) и \(c<0\) ноль на любое число равен нулю, значит \(ac=0\). е) При \(a=0\) и \(c=0\) ноль на ноль равен нулю, значит \(ac=0\).

а) Пусть \(a>0\) и \(c>0\). Положительные числа при умножении сохраняют знак: если каждое из множителей больше нуля, то их произведение также больше нуля, поскольку умножение эквивалентно многократному сложению положительного числа. Формально: \(a=\frac{p}{q}\), \(c=\frac{r}{s}\) с \(p,q,r,s>0\), тогда \(ac=\frac{pr}{qs}\), где числитель и знаменатели положительны, следовательно \(ac>0\).

б) Пусть \(a>0\) и \(c<0\). Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно, так как умножение на отрицательное меняет направление на числовой прямой: \(c=-|c|\), тогда \(ac=a\cdot(-|c|)=-(a\cdot|c|)\), где \(a\cdot|c|>0\). Следовательно знак произведения строго отрицателен: \(ac<0\). в) Пусть \(a<0\) и \(c<0\). Представим оба множителя как отрицательные: \(a=-|a|\), \(c=-|c|\). Тогда \(ac=(-|a|)\cdot(-|c|)=|a|\cdot|c|\), что является произведением двух положительных чисел и, значит, положительно. Также это согласуется с правилом знаков: минус на минус даёт плюс. Следовательно \(ac>0\).

г) Пусть \(a>0\) и \(c=0\). Умножение любого действительного числа на ноль даёт ноль, поскольку \(a\cdot0=0\) по определению умножения как повторного сложения нулевого слагаемого. Поэтому независимо от величины положительного \(a\) получаем \(ac=0\).

д) Пусть \(a=0\) и \(c<0\). Ноль является нейтральным поглотителем для умножения: \(0\cdot c=0\) для любого \(c\) из \(\mathbb{R}\). Знак \(c\) роли не играет, так как отсутствие величины у одного множителя обнуляет результат. Следовательно \(ac=0\). е) Пусть \(a=0\) и \(c=0\). Произведение двух нулей также равно нулю: \(0\cdot0=0\). Это прямо следует из свойств умножения в поле действительных чисел и подтверждает, что при наличии хотя бы одного нулевого множителя результат равен нулю, а тем более при обоих нулях. Следовательно \(ac=0\).