ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.72 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \(|x| = 8,1\);
б) \(|x| = 7\);
в) \(|x| = 0\);
г) \(|x| = \frac{5}{12}\);
д) \(|x| = -1\).

а) Решение: из определения модуля \( |x|=a\) при \(a>0\) получаем два корня \(x=\pm a\). Здесь \(a=8{,}1\), значит \(x=-8{,}1\) и \(x=8{,}1\). Ответ: \(x=-8{,}1\) и \(x=8{,}1\).

б) Решение: \( |x|=7 \Rightarrow x=\pm7\). Ответ: \(x=-7\) и \(x=7\).

в) Решение: модуль равен нулю только при нулевом числе: \( |x|=0 \Rightarrow x=0\). Ответ: \(x=0\).

г) Решение: \( |x|=\frac{5}{12} \Rightarrow x=\pm\frac{5}{12}\). Ответ: \(x=-\frac{5}{12}\) и \(x=\frac{5}{12}\).

д) Решение: модуль не может быть отрицательным: \( |x|\ge 0\). Для \( |x|=-1\) решений нет. Ответ: \(\emptyset\).

а) Решение: используем определение модуля числа. Для любого положительного числа \(a>0\) уравнение \( |x|=a \) эквивалентно совокупности двух линейных уравнений \(x=a\) и \(x=-a\), потому что модуль показывает расстояние числа от нуля на числовой прямой и это расстояние одинаково для противоположных чисел. Подставляя \(a=8{,}1\), получаем два корня: \(x=8{,}1\) и \(x=-8{,}1\). Эти значения действительно удовлетворяют исходному уравнению, так как \( |8{,}1|=8{,}1 \) и \( |-8{,}1|=8{,}1 \). Ответ: \(x=-8{,}1\) и \(x=8{,}1\).

б) Решение: аналогично предыдущему пункту, при \(a=7\) имеем уравнение \( |x|=7 \). По определению модуля оно распадается на два случая: когда число неотрицательно, \(x\ge 0\), тогда \(x=7\); и когда число отрицательно, \(x<0\), тогда \(x=-7\), поскольку модуль отрицательного числа равен модулю его противоположного. Проверка подстановкой показывает, что \( |7|=7 \) и \( |-7|=7 \), следовательно, оба решения корректны. Ответ: \(x=-7\) и \(x=7\). в) Решение: модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, поскольку расстояние от нуля до точки на числовой прямой равно нулю лишь в самой точке \(0\). Поэтому из уравнения \( |x|=0 \) немедленно следует \(x=0\). Дополнительной разветвленной проверки не требуется, так как других значений, дающих нулевой модуль, не существует. Ответ: \(x=0\). г) Решение: рассматриваем положительное рациональное число \(a=\frac{5}{12}\). По общему правилу, если \(a>0\), то уравнение \( |x|=a \) имеет два симметричных решения относительно нуля: \(x=a\) и \(x=-a\). Отсюда получаем \(x=\frac{5}{12}\) и \(x=-\frac{5}{12}\). Проверка: \( \left|\frac{5}{12}\right|=\frac{5}{12} \) и \( \left|-\frac{5}{12}\right|=\frac{5}{12} \), что совпадает с правой частью уравнения, значит оба значения являются решениями. Ответ: \(x=-\frac{5}{12}\) и \(x=\frac{5}{12}\).

д) Решение: важнейшее свойство модуля состоит в неотрицательности: для любого действительного \(x\) выполняется \( |x|\ge 0 \). Следовательно, уравнение вида \( |x|=b \) может иметь решения только при \(b\ge 0\). В данном случае правая часть равна \(-1\), то есть отрицательна, и ни одно действительное число не имеет отрицательного модуля. Поэтому множество решений пусто, что записывается как \(\emptyset\). Ответ: \(\emptyset\).