ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.371 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

С помощью букв \(m\) и \(n\) запишите переместительное свойство умножения. Подставьте значения букв:  

а) \(m = -1,5\), \(n = 2,4\);  

б) \(m = -4 \frac{1}{5}\), \(n = -3 \frac{1}{7}\).  

Проверьте получившиеся равенства.

а) Вычисляем произведение \( m \cdot n = -1{,}5 \cdot 2{,}4 = -3{,}6 \). Поменяв множители местами, получаем \( n \cdot m = 2{,}4 \cdot (-1{,}5) = -3{,}6 \). Результаты совпадают, значит переместительное свойство выполняется.

б) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
\( m = -4 \frac{1}{5} = -\frac{21}{5} \),
\( n = -3 \frac{1}{7} = -\frac{22}{7} \).

Вычисляем произведение:
\( m \cdot n = -\frac{21}{5} \cdot -\frac{22}{7} = \frac{21}{5} \cdot \frac{22}{7} = \frac{21 \cdot 22}{5 \cdot 7} \).

Меняем множители местами:
\( n \cdot m = \frac{22}{7} \cdot \frac{21}{5} = \frac{22 \cdot 21}{7 \cdot 5} \).

Так как умножение числителей и знаменателей коммутативно, дроби равны.

Упрощаем:
\( \frac{21 \cdot 22}{5 \cdot 7} = \frac{462}{35} = \frac{66}{5} = 13 \frac{1}{5} \).

Ответ: произведение равно \( 13 \frac{1}{5} \), и переместительное свойство умножения подтверждается.

Переместительное свойство умножения утверждает, что при умножении двух чисел порядок множителей не влияет на результат, то есть \( m \cdot n = n \cdot m \). Это фундаментальное свойство арифметики, которое позволяет менять местами множители без изменения произведения. Рассмотрим это свойство на двух примерах с разными типами чисел.

а) Пусть \( m = -1{,}5 \), а \( n = 2{,}4 \). Для проверки переместительного свойства умножим сначала \( m \) на \( n \):
\(-1{,}5 \cdot 2{,}4 = -3{,}6\). Затем поменяем местами множители и умножим \( n \) на \( m \):
\(2{,}4 \cdot (-1{,}5) = -3{,}6\). Полученные результаты совпадают, что подтверждает верность свойства.

б) Рассмотрим более сложный пример с дробными числами: \( m = -4 \frac{1}{5} \), \( n = -3 \frac{1}{7} \). Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений:
\(-4 \frac{1}{5} = -\frac{21}{5}\), так как \(4 \cdot 5 + 1 = 21\);
\(-3 \frac{1}{7} = -\frac{22}{7}\), так как \(3 \cdot 7 + 1 = 22\).

Теперь вычислим произведение \( m \cdot n \):
\(-\frac{21}{5} \cdot -\frac{22}{7} = \frac{21}{5} \cdot \frac{22}{7}\), так как минусы при умножении дают плюс. Переместительное свойство требует, чтобы
\(\frac{21}{5} \cdot \frac{22}{7} = \frac{22}{7} \cdot \frac{21}{5}\).

Выполним умножение дробей: числители перемножаются, знаменатели перемножаются, поэтому:
\(\frac{21 \cdot 22}{5 \cdot 7} = \frac{22 \cdot 21}{7 \cdot 5}\). Поскольку умножение в числителе и знаменателе коммутативно, эти дроби равны.

Для наглядности упростим дроби, выделяя множители:
\(\frac{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 11}{5 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 7}{7 \cdot 5}\). Сокращая одинаковые множители \(7\), получаем:
\(\frac{3 \cdot 2 \cdot 11}{5} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 3}{5}\), что равнозначно.

Результат умножения равен:
\(\frac{66}{5}\). Преобразуем эту неправильную дробь обратно в смешанное число:
\(13 \frac{1}{5}\), так как \(66 \div 5 = 13\) и остаток 1.

Таким образом,
\(-4 \frac{1}{5} \cdot -3 \frac{1}{7} = -3 \frac{1}{7} \cdot -4 \frac{1}{5} = 13 \frac{1}{5}\), что подтверждает переместительное свойство умножения для дробных чисел.