ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.361 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Справедливо ли равенство:  

а) \(0,777\ldots = \frac{7}{9}\);  

б) \(0,208(3) = \frac{5}{24}\)?

а) \(0{,}777\ldots = \frac{7}{9}\) — верно;

б) \(0{,}208(3) = \frac{5}{24}\) — верно.

а) Число \(0{,}777\ldots\) представляет собой бесконечную периодическую десятичную дробь, где цифра 7 повторяется бесконечно. Чтобы представить такую дробь в виде обыкновенной дроби, используем формулу для периодических десятичных дробей. Пусть \(x = 0{,}777\ldots\). Тогда умножим обе части на 10, так как период состоит из одной цифры:

\(10x = 7{,}777\ldots\).

Вычитая из этого уравнения исходное, получаем:

\(10x — x = 7{,}777\ldots — 0{,}777\ldots\),

то есть

\(9x = 7\).

Отсюда

\(x = \frac{7}{9}\).

Таким образом, запись \(0{,}777\ldots = \frac{7}{9}\) является верной.

б) Число \(0{,}208(3)\) — это десятичная дробь с непериодической частью \(0{,}208\) и периодом \(3\), который повторяется бесконечно. Для перевода такой смешанной десятичной дроби в обыкновенную дробь используем следующий метод. Пусть \(y = 0{,}2083333\ldots\), где период — одна цифра 3. Умножим \(y\) на \(10^4 = 10000\), так как непериодическая часть занимает 3 знака после запятой:

\(10000y = 2083{,}3333\ldots\).

Умножим \(y\) на \(10^3 = 1000\), чтобы сдвинуть непериодическую часть:

\(1000y = 208{,}3333\ldots\).

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

\(10000y — 1000y = 2083{,}3333\ldots — 208{,}3333\ldots\),

то есть

\(9000y = 1875\).

Отсюда

\(y = \frac{1875}{9000} = \frac{5}{24}\).

Следовательно, равенство \(0{,}208(3) = \frac{5}{24}\) верно.