ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.346 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Верны ли следующие равенства:
а) \(0,555\ldots = \frac{5}{9}\);
б) \(4,(148) = 4 \frac{4}{27}\);
в) \(0,0202\ldots = \frac{2}{99}\);
г) \(0,(12) = \frac{4}{33}\);
д) \(0,41666\ldots = \frac{5}{12}\);
е) \(5,4(06) = 5 \frac{67}{165}\)?

а) \(0,555\ldots = \frac{5}{9}\) — верно;

б) \(4,(148) = 4 \frac{4}{27}\) — верно;

в) \(0,0202\ldots = \frac{2}{99}\) — верно;

г) \(0,(12) = \frac{4}{33}\) — верно;

д) \(0,41666\ldots = \frac{5}{12}\) — верно;

е) \(5,4(06) = 5 \frac{67}{165}\) — верно.

а) Число \(0,555\ldots\) — это бесконечная десятичная дробь с периодом 5. Чтобы представить её в виде обыкновенной дроби, обозначим число через \(x\). Тогда \(x = 0,555\ldots\). Умножим обе части на 10, получим \(10x = 5,555\ldots\). Вычтем из второго уравнения первое: \(10x — x = 5,555\ldots — 0,555\ldots\), что даёт \(9x = 5\). Отсюда \(x = \frac{5}{9}\). Таким образом, \(0,555\ldots = \frac{5}{9}\), что подтверждает правильность записи.

б) В числе \(4,(148)\) целая часть равна 4, а периодическая часть — 148. Представим число в виде суммы целой части и дробной: \(4 + 0,(148)\). Для нахождения дробной части обозначим \(y = 0,(148)\). Период длиной 3 цифры, умножим \(y\) на \(10^3 = 1000\), получим \(1000y = 148,148148\ldots\). Вычтем из этого \(y\): \(1000y — y = 148,148148\ldots — 0,148148\ldots\), то есть \(999y = 148\). Отсюда \(y = \frac{148}{999}\). После сокращения дробь \( \frac{148}{999} = \frac{4}{27} \). Значит, \(4,(148) = 4 + \frac{4}{27} = 4 \frac{4}{27}\), что совпадает с ответом.

в) Число \(0,0202\ldots\) имеет период 02 после начальной нулевой цифры. Обозначим \(z = 0,0202\ldots\). Умножим на 100, чтобы сдвинуть период: \(100z = 2,0202\ldots\). Вычтем \(z\): \(100z — z = 2,0202\ldots — 0,0202\ldots\), то есть \(99z = 2\). Следовательно, \(z = \frac{2}{99}\). Это доказывает, что \(0,0202\ldots = \frac{2}{99}\).

г) Число \(0,(12)\) — периодическая десятичная дробь с периодом 12. Обозначим \(w = 0,(12)\). Умножим на 100, чтобы сдвинуть период: \(100w = 12,1212\ldots\). Вычтем \(w\): \(100w — w = 12,1212\ldots — 0,1212\ldots\), то есть \(99w = 12\). Значит, \(w = \frac{12}{99}\), после сокращения \(w = \frac{4}{33}\). Таким образом, \(0,(12) = \frac{4}{33}\).

д) Число \(0,41666\ldots\) состоит из десятичной части с непериодической цифрой 4 и периодом 6. Обозначим \(t = 0,41666\ldots\). Представим как сумму: \(t = 0,41 + 0,00666\ldots\). Для периодической части обозначим \(p = 0,00666\ldots\). Умножим на 10: \(10p = 0,0666\ldots\). Вычтем \(p\): \(10p — p = 0,0666\ldots — 0,00666\ldots = 0,06\). Значит, \(9p = 0,06\), откуда \(p = \frac{0,06}{9} = \frac{6}{900} = \frac{1}{150}\). Тогда \(t = 0,41 + \frac{1}{150} = \frac{41}{100} + \frac{1}{150} = \frac{123}{300} + \frac{2}{300} = \frac{125}{300} = \frac{5}{12}\).

е) Число \(5,4(06)\) состоит из целой части 5, непериодической части 4 и периодической части 06. Обозначим \(m = 0,4(06)\). Для выделения периода умножим на 1000: \(1000m = 406,0606\ldots\). Вычтем \(10m\) (сдвиг непериодической части): \(10m = 4,0606\ldots\). Тогда \(1000m — 10m = 406,0606\ldots — 4,0606\ldots = 402\). Значит, \(990m = 402\), откуда \(m = \frac{402}{990} = \frac{67}{165}\) после сокращения. Следовательно, \(5,4(06) = 5 + \frac{67}{165} = 5 \frac{67}{165}\).