ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.345 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какую из дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби:
\(\frac{5}{8}\), \(\frac{19}{21}\), \(\frac{19}{35}\), \(\frac{21}{250}\), \(\frac{11}{40}\), \(\frac{19}{9}\), \(\frac{2}{12}\), \(\frac{5}{9}\), \(\frac{21}{56}\), \(\frac{7}{32}\).

Несократимая дробь представима в виде конечной десятичной дроби, если в её знаменателе простые множители только 2 и/или 5.

1. \( \frac{5}{8} = \frac{5}{2^3} \) — только простые множители 2, значит конечная десятичная дробь.

2. \( \frac{19}{21} = \frac{19}{3 \cdot 7} \) — есть множители 3 и 7, значит не конечная.

3. \( \frac{19}{35} = \frac{19}{5 \cdot 7} \) — есть множитель 7, значит не конечная.

4. \( \frac{21}{35} = \frac{3}{5} \) — множители только 3 и 5, но числитель 3, знаменатель 5, значит конечная.

5. \( \frac{11}{250} = \frac{11}{5^3 \cdot 2} \) — множители только 2 и 5, значит конечная.

6. \( \frac{19}{40} = \frac{19}{2^3 \cdot 5} \) — множители только 2 и 5, значит конечная.

7. \( \frac{2}{9} = \frac{2}{3^2} \) — есть множитель 3, значит не конечная.

8. \( \frac{5}{12} = \frac{5}{2^2 \cdot 3} \) — есть множитель 3, значит не конечная.

9. \( \frac{21}{56} = \frac{3}{8} = \frac{3}{2^3} \) — множители только 2, значит конечная.

10. \( \frac{7}{32} = \frac{7}{2^5} \) — множители только 2, значит конечная.

Ответ: \( \frac{5}{8}, \frac{21}{35}, \frac{11}{250}, \frac{19}{40}, \frac{21}{56}, \frac{7}{32} \).

Несократимая дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в её знаменателе после сокращения остаются простые множители только 2 и 5. Это связано с тем, что основание десятичной системы счисления — 10, а \(10 = 2 \cdot 5\). Если знаменатель содержит другие простые множители, дробь будет иметь бесконечное периодическое десятичное представление.

Рассмотрим каждую дробь подробно. Первая дробь \( \frac{5}{8} \) имеет знаменатель \(8 = 2^3\). Здесь простые множители — только 2. Значит, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как знаменатель — степень двойки. Следующая дробь \( \frac{19}{21} \) имеет знаменатель \(21 = 3 \cdot 7\). Здесь присутствуют простые множители 3 и 7, которые не входят в разложение числа 10, поэтому конечной десятичной дробью она не является.

Дробь \( \frac{19}{35} \) имеет знаменатель \(35 = 5 \cdot 7\). Несмотря на то, что 5 входит в разложение десяти, множитель 7 не подходит, и эта дробь не может быть конечной десятичной. Для дроби \( \frac{21}{35} \) знаменатель тот же, но числитель можно сократить с 21 и 35: \( \frac{21}{35} = \frac{3}{5} \). Здесь знаменатель — 5, что подходит для конечной десятичной дроби.

Для дроби \( \frac{11}{250} \) знаменатель равен \(250 = 2 \cdot 5^3\). Все простые множители — 2 и 5, значит дробь конечна в десятичном виде. Аналогично, дробь \( \frac{19}{40} \) имеет знаменатель \(40 = 2^3 \cdot 5\), что также соответствует условию для конечной десятичной дроби.

Дробь \( \frac{2}{9} \) имеет знаменатель \(9 = 3^2\). Поскольку 3 — простой множитель отличный от 2 и 5, дробь не может быть записана в виде конечной десятичной дроби. Аналогично, дробь \( \frac{5}{12} \) имеет знаменатель \(12 = 2^2 \cdot 3\), и из-за множителя 3 она не будет конечной.

Рассмотрим дробь \( \frac{21}{56} \). Знаменатель \(56 = 2^3 \cdot 7\), но числитель 21 и знаменатель 56 можно сократить на 7, получив \( \frac{3}{8} \). Теперь знаменатель — \(8 = 2^3\), что соответствует условию конечной десятичной дроби. Дробь \( \frac{7}{32} \) имеет знаменатель \(32 = 2^5\), что также подходит.

Итог: конечными десятичными дробями являются те, у которых после сокращения знаменатель содержит только множители 2 и 5. В нашем случае это дроби \( \frac{5}{8}, \frac{21}{35}, \frac{11}{250}, \frac{19}{40}, \frac{21}{56}, \frac{7}{32} \).