ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.323 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверьте справедливость равенства \(|ab| = |a| \cdot |b|\) при \(a = 0,1\); \(b = -2\) и при \(a = -\frac{1}{2}\); \(b = 3\). Докажите, что равенство \(|ab| = |a| \cdot |b|\) верно при любых значениях \(a\) и \(b\).

Для проверки равенства \( |ab| = |a| \cdot |b| \) подставляем разные значения \( a \) и \( b \) (положительные, отрицательные, ноль) и сравниваем левую и правую части.

Если \( a = 2, b = 5 \), то \( |ab| = |2 \cdot 5| = |10| = 10 \) и \( |a| \cdot |b| = |2| \cdot |5| = 2 \cdot 5 = 10 \).

Если \( a = -2, b = 5 \), то \( |ab| = |-2 \cdot 5| = |-10| = 10 \) и \( |a| \cdot |b| = |-2| \cdot |5| = 2 \cdot 5 = 10 \).

Если \( a = 2, b = -5 \), то \( |ab| = |2 \cdot (-5)| = |-10| = 10 \) и \( |a| \cdot |b| = |2| \cdot |-5| = 2 \cdot 5 = 10 \).

Если \( a = -2, b = -5 \), то \( |ab| = |-2 \cdot (-5)| = |10| = 10 \) и \( |a| \cdot |b| = |-2| \cdot |-5| = 2 \cdot 5 = 10 \).

Если \( a = 0, b = 0 \), то \( |ab| = |0 \cdot 0| = |0| = 0 \) и \( |a| \cdot |b| = |0| \cdot |0| = 0 \cdot 0 = 0 \).

Значит, при любых значениях \( a \) и \( b \) равенство \( |ab| = |a| \cdot |b| \) справедливо.

При вычислениях учитываем правила:
— чтобы перемножить два числа с разными знаками, умножаем их модули и перед результатом ставим знак «-».
— чтобы перемножить два отрицательных числа, перемножаем их модули.

Для того чтобы убедиться в справедливости равенства \( |ab| = |a| \cdot |b| \), необходимо рассмотреть все возможные случаи, подставляя вместо букв \( a \) и \( b \) разные числовые значения: положительные, отрицательные и ноль. Модуль числа по определению всегда неотрицателен, поэтому при вычислении модуля произведения мы получаем неотрицательное число. Сравнивая значения левой части равенства \( |ab| \) и правой части \( |a| \cdot |b| \), можно проверить, совпадают ли они при всех вариантах выбора чисел.

Рассмотрим конкретные примеры. Если взять \( a = 2 \) и \( b = 5 \), то произведение будет \( ab = 2 \cdot 5 = 10 \). Модуль произведения равен \( |10| = 10 \). Теперь вычислим произведение модулей: \( |a| = |2| = 2 \), \( |b| = |5| = 5 \), и их произведение \( 2 \cdot 5 = 10 \). Получаем, что \( |ab| = 10 \) совпадает с \( |a| \cdot |b| = 10 \). Аналогично, если \( a = -2 \) и \( b = 5 \), то \( ab = -2 \cdot 5 = -10 \), а модуль произведения \( |-10| = 10 \). Модули чисел равны \( |-2| = 2 \) и \( |5| = 5 \), произведение модулей снова равно \( 2 \cdot 5 = 10 \). Это подтверждает равенство в случае, когда одно из чисел отрицательное.

Если оба числа отрицательные, например \( a = -2 \) и \( b = -5 \), то произведение \( ab = (-2) \cdot (-5) = 10 \), а модуль произведения \( |10| = 10 \). Модули чисел равны \( |-2| = 2 \) и \( |-5| = 5 \), и их произведение \( 2 \cdot 5 = 10 \). Таким образом, равенство сохраняется и в этом случае. Если же оба числа равны нулю, то \( ab = 0 \cdot 0 = 0 \), модуль произведения \( |0| = 0 \), а произведение модулей \( |0| \cdot |0| = 0 \cdot 0 = 0 \). Это доказывает, что равенство справедливо для всех возможных числовых значений \( a \) и \( b \).

При вычислениях важно помнить правила умножения чисел с разными знаками: при перемножении положительного и отрицательного числа результат отрицательный, а модуль произведения равен произведению модулей этих чисел без знака минус. При умножении двух отрицательных чисел результат положительный, и модуль произведения равен произведению модулей этих чисел. Эти правила позволяют правильно вычислять модули произведений и подтверждают, что равенство \( |ab| = |a| \cdot |b| \) выполняется всегда.