ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.21 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какое число расположено ближе к единице на координатной прямой неправильная дробь или дробь, ей обратная?

а) Неправильной дроби обратна правильная дробь.

б) Любая неправильная дробь больше 1, а обратная ей правильная дробь меньше 1, значит она ближе к 1.

в) Пример: неправильная дробь \(\frac{5}{2}\), обратная ей \(\frac{2}{5}\).

г) \(\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\). Расстояние до 1: для \(\frac{2}{5}\) это \(1-\frac{2}{5}=\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}\); для \(2\frac{1}{2}\) это \(2\frac{1}{2}-1=1\frac{1}{2}\). Поскольку любая правильная дробь меньше смешанного числа, то \(\frac{3}{5}<1\frac{1}{2}\).

д) Следовательно, неправильная дробь на луче дальше от 1, чем её обратная правильная дробь.

а) Неправильной дроби обратна правильная дробь. Пусть дана неправильная дробь вида \(\frac{a}{b}\), где \(a>b>0\). Тогда обратная к ней дробь \(\frac{b}{a}\) является правильной, поскольку \(b<a\), а значит \(\frac{b}{a}<1\). Это соответствует общему свойству взаимно обратных: если число больше 1, то его обратное меньше 1, и наоборот. Следовательно, для любой неправильной дроби её обратная дробь всегда правильная.

б) Так как любая неправильная дробь \(\frac{a}{b}\) при \(a>b\) удовлетворяет неравенству \(\frac{a}{b}>1\), то расстояние от неё до единицы на координатном луче равно \(\frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b}>0\). Для обратной дроби \(\frac{b}{a}\) имеем \(\frac{b}{a}<1\), и расстояние до единицы равно \(1-\frac{b}{a}=\frac{a-b}{a}\). Заметим, что \(\frac{a-b}{b}>\frac{a-b}{a}\), потому что \(a>b\) и общий числитель одинаков, а больший знаменатель даёт меньшую дробь. Значит, правильная дробь \(\frac{b}{a}\) расположена ближе к 1, чем исходная неправильная \(\frac{a}{b}\).

в) Пример: возьмём неправильную дробь \(\frac{5}{2}\). Её обратная дробь \(\frac{2}{5}\) правильная, так как \(\frac{2}{5}<1\). На координатном луче \(\frac{5}{2}\) находится правее 1, а \(\frac{2}{5}\) левее 1. Это наглядно иллюстрирует общий вывод: число больше 1 отстоит от единицы дальше, чем его обратное, которое меньше 1.

г) Преобразуем \(\frac{5}{2}\) в смешанное число: \(\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\), поскольку \(5=2\cdot 2+1\). Теперь сравним расстояния до 1. Для \(\frac{2}{5}\) получаем \(1-\frac{2}{5}=\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}\). Для \(2\frac{1}{2}\) получаем \(2\frac{1}{2}-1=1\frac{1}{2}\). Сравнивая \(\frac{3}{5}\) и \(1\frac{1}{2}\), видим, что любая правильная дробь меньше любого смешанного числа, то есть \(\frac{3}{5}<1\frac{1}{2}\). Следовательно, точка \(\frac{2}{5}\) ближе к 1, чем точка \(2\frac{1}{2}\).

д) Итак, неправильная дробь на координатном луче расположена дальше от единицы, чем дробь ей обратная (правильная дробь). Обобщённо: для любой неправильной дроби \(\frac{a}{b}\) при \(a>b\) расстояние до 1 равно \(\frac{a-b}{b}\), а для обратной правильной дроби \(\frac{b}{a}\) расстояние равно \(\frac{a-b}{a}\), и выполняется \(\frac{a-b}{b}>\frac{a-b}{a}\). Поэтому на числовой прямой правильная дробь, обратная неправильной, всегда расположена ближе к единице.