ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.20 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Запишите множество натуральных чисел, расположенных на координатной прямой между числами:

а) \(0\) и \(11\); б) \(3,6\) и \(18\); в) \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{8}{4}\); г) \(235\) и \(236\); д) \(\frac{9}{14}\) и \(141\).

а) Между \(0\) и \(11\) лежат все натуральные числа от \(1\) до \(10\): \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\). Обоснование: берём целые \(n\), для которых \(0<n<11\).

б) Между \(3{,}6\) и \(18\) лежат натуральные \(4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17\). Обоснование: минимальное целое больше \(3{,}6\) это \(4\), максимальное меньше \(18\) это \(17\).

в) Между \(3\frac{5}{7}\) и \(8\frac{1}{4}\) лежат натуральные \(4; 5; 6; 7; 8\). Обоснование: \(3\frac{5}{7}<4\) и \(8<8\frac{1}{4}\).

г) Между \(235\) и \(236\) натуральных чисел нет: \(\emptyset\). Обоснование: целые подряд.

д) Между \(9\frac{3}{14}\) и \(\frac{141}{14}=10\frac{1}{14}\) расположено одно натуральное число \(10\). Обоснование: \(9\frac{3}{14}<10<10\frac{1}{14}\).

а) Рассматриваем координатный луч и ищем все натуральные числа между \(0\) и \(11\). Натуральные числа — это положительные целые: \(1,2,3,\ldots\). Условие «между» означает строгие неравенства \(0<n<11\). Минимальное натуральное, удовлетворяющее \(0<n\), равно \(1\); максимальное, удовлетворяющее \(n<11\), равно \(10\). Следовательно, последовательно перечисляем все целые от \(1\) до \(10\) включительно: \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\). Проверка краёв: \(0\) и \(11\) не входят, так как неравенства строгие, поэтому \(0\) исключается как ненатуральное, а \(11\) — как граничное значение. Итоговый перечень корректен, так как каждый член удовлетворяет \(0<n<11\) и принадлежит множеству натуральных чисел.

б) Теперь границы нецелые: \(3{,}6\) и \(18\). Чтобы найти натуральные числа между ними, берём минимальное целое, строго большее левой границы, то есть \(n=\lceil 3{,}6\rceil=4\), и максимальное целое, строго меньшее правой границы, то есть \(n=\lfloor 18\rfloor-1=17\), поскольку \(18\) само не включается. Получаем диапазон натуральных чисел \(4\le n\le 17\), что даёт полный список: \(4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17\). Проверка: каждое число удовлетворяет двойному строгому неравенству \(3{,}6<n<18\); числа \(3\) и \(18\) исключены соответственно из-за левой дробной границы и строгой правой.

в) Левые и правые границы даны смешанными дробями: \(3\frac{5}{7}\) и \(8\frac{1}{4}\). Преобразуем их в неправильные дроби при необходимости для сравнения: \(3\frac{5}{7}=3+\frac{5}{7}\) и \(8\frac{1}{4}=8+\frac{1}{4}\). Видно, что \(3\frac{5}{7}<4\), поскольку \(\frac{5}{7}<1\), а также \(8<8\frac{1}{4}\), поскольку \(\frac{1}{4}>0\). Значит, первое натуральное число правее левой границы — \(4\), а последнее левее правой границы — \(8\). Отсюда весь набор натуральных чисел в интервале: \(4; 5; 6; 7; 8\). Проверка граничных точек: \(3\) не подходит, так как меньше левой границы, \(9\) не подходит, так как больше правой границы; числа \(4\) и \(8\) допустимы, потому что удовлетворяют \(3\frac{5}{7}<4\) и \(8<8\frac{1}{4}\).

г) Числа \(235\) и \(236\) являются соседними целыми, то есть подряд идущими в натуральном ряду. Между двумя последовательными целыми \(k\) и \(k+1\) не существует других целых, следовательно, и натуральных чисел между ними нет. Формально, если бы существовало натуральное \(n\) с \(235<n<236\), то оно было бы целым в интервале длины \(1\), что невозможно. Поэтому множество натуральных чисел между этими границами равно \(\emptyset\).

д) Границы: \(9\frac{3}{14}\) и \(\frac{141}{14}\). Преобразуем правую границу к смешанному виду: \(\frac{141}{14}=10\frac{1}{14}\), так как \(141=14\cdot 10+1\). Сравниваем с ближайшими целыми: \(9\frac{3}{14}=9+\frac{3}{14}\) лежит правее \(9\), а \(10\frac{1}{14}=10+\frac{1}{14}\) лежит правее \(10\). Единственное натуральное число между ними — это \(10\), так как выполняется неравенство \(9\frac{3}{14}<10<10\frac{1}{14}\). Проверка полноты: число \(9\) меньше левой границы, а \(11\) больше правой границы, других натуральных между \(9\) и \(11\) нет, кроме \(10\). Поэтому в данном интервале расположено ровно одно натуральное число \(10\).